1.从两个角度理解

（1）信息论中交叉熵

H(p,q)=−∑xp(x)log(q(x))=H(p)+DKL(p∣∣q)H(p,q)=-\sum_xp(x)log(q(x))=H(p)+D_{KL}(p||q)H(p,q)=−x∑p(x)log(q(x))=H(p)+DKL(p∣∣q)
p是指真实的分布，q是估计的分布。式中H(p)H(p)H(p)是真实分布的熵，当给定分布，熵就确定；DKL(p∣∣q)D_{KL}(p||q)DKL(p∣∣q)是相对熵。
softmax分类器就是要最小化估计分类概率和真实分布之间的交叉熵。
交叉熵用于评估两个分布的相似度。

（2）概率的角度

softmax函数P(yi∣xi,w)=efyi∑jefjP(y_i|x_i,w)=\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}}P(yi∣xi,w)=∑jefjefyi
给定输入xi{x_i}xi和参数w，分配给正确分类标签的归一化概率。

2. softmax在实际应用中的问题

softmax函数中分子和分母都做指数运算，当数值很大的时候，会出现指数爆炸等问题。
常用的处理方法是分子分母同时乘以一个常数C，
efyi∑jefj=CefyiC∑jefj=efyi+logC∑jefj+logC\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}}=\frac{Ce^{f_{y_i}}}{C\sum_je^{f_j}} = \frac{e^{f_{y_i}+logC}}{\sum_je^{f_j+logC}}∑jefjefyi=C∑jefjCefyi=∑jefj+logCefyi+logC
C通常取值为−max(fj)-max(f_j)−max(fj),使最大的值为0.

# python实现f -= np.max(f)p = np.exp(f)/np.sum(np.exp(f))

3. 一个简单的示例

这里需要强调的是：最后的输出直接由权重上一层的输出+偏置求得，并没有经过sigmoid函数，所以上图输出结果是[−2.85,0.86,0.28][-2.85,0.86,0.28][−2.85,0.86,0.28]。
(1) 先求efje^{f_j}efj,
[e−0.285,e0.86,e0.28]=[0.058,2.36,1.32][e^{-0.285},e^{0.86},e^{0.28}] = [0.058, 2.36, 1.32][e−0.285,e0.86,e0.28]=[0.058,2.36,1.32]
(2) 求∑jefj\sum_je^{f_j}∑jefj
e−0.285+e0.86+e0.28=0.058+2.36+1.32=3.738e^{-0.285}+e^{0.86}+e^{0.28} = 0.058+2.36+1.32=3.738e−0.285+e0.86+e0.28=0.058+2.36+1.32=3.738
(3) 求输出概率
P(y1∣x1,w)=efy1∑jefj=0.0583.738=0.016P(y_1|x_1,w)=\frac{e^{f_{y_1}}}{\sum_je^{f_j}}=\frac{0.058}{3.738}=0.016P(y1∣x1,w)=∑jefjefy1=3.7380.058=0.016
P(y2∣x1,w)=efy2∑jefj=2.363.738=0.631P(y_2|x_1,w)=\frac{e^{f_{y_2}}}{\sum_je^{f_j}}=\frac{2.36}{3.738}=0.631P(y2∣x1,w)=∑jefjefy2=3.7382.36=0.631
P(y3∣x1,w)=efy3∑jefj=1.323.738=0.0353P(y_3|x_1,w)=\frac{e^{f_{y_3}}}{\sum_je^{f_j}}=\frac{1.32}{3.738}=0.0353P(y3∣x1,w)=∑jefjefy3=3.7381.32=0.0353

给一个类别的打分为[1,−2,0][1,-2,0][1,−2,0],softmax通过上述的计算，得到概率输出[0.7,0.04,0.26][0.7,0.04,0.26][0.7,0.04,0.26]。
进一步考虑正则项的影响，假设惩罚使得得分的输出变为原来的12\frac{1}{2}21，即[1,−2,0][1,-2,0][1,−2,0]=>[0.5,−1,0][0.5,-1,0][0.5,−1,0]时，最终得到的输出为[0.55,0.12,0.33][0.55,0.12,0.33][0.55,0.12,0.33]。
softmax分类器会使正确的分类获得更大的概率，使错误的分类得到更小的概率。

（1）CS231n课程笔记翻译：线性分类笔记（下）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/21102293?refer=intelligentunit
（2）cs231n-assignment1-SVM/Softmax/two-layer-nets梯度求解
https://blog.csdn.net/pjia_1008/article/details/66972060
（3）CS231n课程学习笔记（三）——Softmax分类器的实现
https://blog.csdn.net/stalbo/article/details/79379078
（4）斯坦福大学深度学习公开课cs231n学习笔记（9）softmax分类和神经网络分类代码实现
https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/78818572

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