强化学习DQN（Deep Q-Learning）、DDQN（Double DQN）

^_学习记录…有错误感谢指出

Deep Q-Learning 的主要目的在于最小化以下目标函数：
J ( ω ) = E [ ( R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω ) − q ^ ( S , A , ω ) ) 2 ] , J(\omega) = {\rm E}\left[ {{{\left( {R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm A}(S')} \hat q(S',a,\omega ) - \hat q(S,{\rm A},\omega )} \right)}^2}} \right],\ J(ω)=E[(R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ω)−q^(S,A,ω))2],
在这里(S,A,R,S’)是一组随机变量

S‘表示继状态S后的下一个状态

采用梯度下降的方法实现对目标函数的最小化。

对目标函数拆分

y = R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω ) (1) {\rm{y}} = R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,\omega )\tag 1 y=R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ω)(1)

y ^ = q ^ ( S , A , ω ) (2) \hat y = \hat q(S,{\rm{A}},\omega )\tag 2 y^=q^(S,A,ω)(2)

可以发现，如果对目标函数求梯度，不仅 y ^ \hat{y} y^ 要对 ω \omega ω 求导，而且 y 也要对 ω \omega ω 求导。

由于 y 式中含有max，所以不易于求导，为了简化梯度下降的过程，在DQN算法中，求目标函数的梯度过程中，在一段时间内，假设 y 式中的 ω \omega ω 是常数（即对目标函数求梯度时，不对 y 求导）。

实现方法

引入两个神经网络

表示 y ^ \hat{y} y^ 的主神经网络（main network） q ^ ( s , a , ω ) \hat q(s,a,\omega ) q^(s,a,ω)
表示 y 的目标神经网络（target network） q ^ ( s , a , ω T ) \hat q(s,a,{\omega _T}) q^(s,a,ωT)

在这种定义下的目标函数为：
J ( ω ) = E [ ( R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω T ) − q ^ ( S , A , ω ) ) 2 ] (3) J(\omega ) = {\rm{E}}\left[ {{{\left( {R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,{\omega _T}) - \hat q(S,{\rm{A}},\omega )} \right)}^2}} \right]\tag 3 J(ω)=E[(R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ωT)−q^(S,A,ω))2](3)
ω T 是 t a r g e t n e t w o r k 的参数 , ω 是 m a i n n e t w o r k 的参数 \omega_T 是target\ network的参数,\omega 是main\ network的参数 ωT是target network的参数,ω是main network的参数

当 ω T \omega_T ωT 是常数时，目标函数的梯度可以简单表示为：
∇ ω J = E [ ( R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω T ) − q ^ ( S , A , ω ) ) ∇ ω q ^ ( S , A , ω ) ] (4) {\nabla _\omega }J = {\rm{E}}\left[ {\left( {R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,{\omega _T}) - \hat q(S,{\rm{A}},\omega )} \right){\nabla _\omega }\hat q(S,{\rm{A}},\omega )} \right]\tag 4 ∇ωJ=E[(R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ωT)−q^(S,A,ω))∇ωq^(S,A,ω)](4)

归纳

核心要点：

引入两个神经网络，分别为 main network 和 target network

为什么引入？

在求梯度的过程中，从数学的意义上为了方便计算梯度，引入两个神经网络分别作为预测网络与目标网络

实现细节：

ω T \omega_T ωT 和 ω \omega ω 分别表示target network 和 main network 的权重，并且两个神经网络具有相同的结构和初始参数
在每一次迭代过程中，从经验仓库**(replay buffer)**中取出mini-batch个样本{ ( s , a , r , s ′ ) (s,a,r,s') (s,a,r,s′)}
进行梯度下降
- main network 的输入为状态s和动作a，输出结果为 q ^ ( s , a , ω ) {\hat q(s,a,\omega )} q^(s,a,ω)
- target network 将状态s和所有的动作A分别输入，针对输出结果取最大值，从而求得 max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω T ) {\mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,{\omega _T})} a∈A(S′)maxq^(S′,a,ωT),进而计算得到结果 y = R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω T ) y = R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,{\omega _T}) y=R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ωT)
- 计算TD error (或称目标损失函数）: ( y − q ^ ( s , a , ω ) ) 2 {(y - \hat q(s,a,\omega ))^2} (y−q^(s,a,ω))2，并对其进行梯度下降，更新main network的权重 ω \omega ω
main network 是在每一个episode都要进行更新，而 target network 是经过一定次数后，将 main network 的参数拷贝给自己用于参数更新

Experience replay(经验回放)

在我们收集到一些经验样本 ( s , a , r , s ′ ) {(s,a,r,s')} (s,a,r,s′) 时，并不直接按照我们收集时的顺序进行训练，而是采用经验回放的方式打乱顺序，随机选取进行训练
**replay buffer: **我们将所有的样本存放在一个集合中，这个集合被称为replay buffer B = {(s,a,r,s’)}
在训练神经网络的每个episode，我们从遵从均匀分布，从replay buffer中随机取出mini-batch个样本，这个过程叫做经验回放。

伪代码(Pseudocode)

DDQN(Double DQN)

DDQN是在DQN的基础上进行的改进，两者模型结构基本一样，唯一区别在于两者的目标函数有所不同。
Y D Q N = R + γ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω T ) Y D D Q N = R + γ q ^ ( S ′ , arg ⁡ max ⁡ a ∈ A ( S ′ ) q ^ ( S ′ , a , ω ) , ω T ) \begin{array}{l} {Y^{DQN}} = R + \gamma \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,{\omega _T})\\ {Y^{DDQN}} = R + \gamma \hat q(S',\mathop {\arg \max }\limits_{a \in {\rm{A}}(S')} \hat q(S',a,\omega ),{\omega _T}) \end{array} YDQN=R+γa∈A(S′)maxq^(S′,a,ωT)YDDQN=R+γq^(S′,a∈A(S′)argmaxq^(S′,a,ω),ωT)
ω T 是 t a r g e t n e t w o r k 的参数 \omega_T 是target\ network的参数 ωT是target network的参数

ω 是 m a i n n e t w o r k 的参数 \omega 是main\ network的参数 ω是main network的参数

Double DQN 的最优动作是根据目前正在更新的网络 main network 选择的，只是action value的值是由 target network 计算而得

DQN 的最优动作是由 target network 而来

引入DDQN的意义

DDQN由当前的main network选择动作，而DQN是由target network选择动作，所以前者计算的Q值是会小于等于后者。（这是因为DDQN由main network选择了动作之后，由target network计算Q值，而DQN直接通过target network计算从最大的Q值，使得DDQN的选择的Q值一定小于或等于DQN）这在一定程度上缓解了Q值得高估问题，使Q值更接近真实值。

Reference:

DQN部分

https://github.com/MathFoundationRL/Book-Mathmatical-Foundation-of-Reinforcement-Learning/blob/main/3%20-%20Chapter%208%20Value%20Function%20Approximation.pdf

DDQN部分!](https://img-blog.csdnimg.cn/dcb07ab71df94e70ae009e71369c33cb.png#pic_center)

https://blog.csdn.net/qq_43435274/article/details/107455240