【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算 | 二元关系个数计算 | 划分

文章目录

等价关系与划分对应问题
第二类斯特林数计算公式
4元集等价关系计算
6元集等价关系计算

等价关系与划分对应问题

等价关系与划分计算 :

1.等价关于与划分一一对应 : 非空集合 AAA 上的等价关系与 AAA 上的划分是一一对应的 ;
( AAA 上有多少个不同的等价关系 , 就产生同样个数的不同的划分 )
2.数学模型 : 将 nnn 个不同的球 , 放入 rrr 个相同的盒子中 , 并且不能出现空盒 , n≥rn \geq rn≥r ; 不同的放球方法对应不同的划分数 ;
3.第二类 Stirling 数 : 将 nnn 个不同的球, 放入 rrr 个相同的盒子中 , 方案数记做 S(n,r)S(n,r)S(n,r) , 或 {nr}\begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix}{nr} ;

第二类斯特林数计算公式

第二类 Stirling 数计算方法 :

1.Stirling 数计算公式 :
- ① S(n,0)=0S(n,0) = 0S(n,0)=0
- ② S(n,1)=1S(n,1) = 1S(n,1)=1
- ③ S(n,2)=2n−1−1S(n,2) = 2^{n-1} - 1S(n,2)=2n−1−1
- ④ S(n,n−1)=C(n,2)S(n,n-1) = C(n, 2)S(n,n−1)=C(n,2)
- ⑤ S(n,n)=1S(n,n) = 1S(n,n)=1
2.Stirling 数递推公式 : S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1)S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1)S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1)

4元集等价关系计算

题目 : 等价关系

条件 : 集合 A={a,b,c,d}A = \{a,b,c,d\}A={a,b,c,d} ;
问题 : 上述集合有多少等价关系 ;

解答 :

分析 :

1.有序对个数 : 集合 AAA 上有 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 个有序对 ;
2.二元关系个数 : 集合 AAA 上的二元关系个数是 2有序对个数=2162^{有序对个数} = 2^{16}2有序对个数=216 个 ;
- ① 公式推演 : 每个二元关系有 000 到 161616 个不等的有序对个数 , 分别统计有 000 个有序对 , 111 个有序对 , 222 个有序对 , ⋯\cdots⋯ ,161616 个有序对的情况 ;
- ② 计算过程 : C(16,0)+C(16,1)+C(16,2)+⋯+C(16,16)=216C(16, 0) + C(16, 1) + C(16,2) + \cdots + C(16, 16) = 2^{16}C(16,0)+C(16,1)+C(16,2)+⋯+C(16,16)=216 ;
3.无法直接得出等价关系数 : AAA 上有 2162^{16}216 个二元关系 , 逐个验证等价关系要求的自反 , 对称 , 传递性质 , 肯定行不通 , 计算量巨大 ;
4.求划分个数 : 集合 AAA 的等价关系个数与划分个数是一一对应的 , 因此求其划分个数即可 ;

分步求解 :

① 使用第二类 Stirling 求其不同的划分个数 :
S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)S(4, 1) + S(4, 2) + S(4, 3) + S(4, 4)S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)

② 根据公式 : S(n,1)=1S(n,1) = 1S(n,1)=1 , 计算 Stirling 数的值 :
S(4,1)=1S(4, 1) = 1S(4,1)=1

③ 根据公式 : S(n,2)=2n−1−1S(n,2) = 2^{n-1} - 1S(n,2)=2n−1−1 , 计算 Stirling 数的值 :
S(4,2)=24−1−1=23−1=7S(4, 2) = 2^{4 - 1} - 1 = 2^3 -1=7S(4,2)=24−1−1=23−1=7

④ 根据公式1 : S(n,n−1)=C(n,2)S(n,n-1) = C(n, 2)S(n,n−1)=C(n,2) ( Stirling 数计算公式 ) , 根据公式2 : C(n,r)=n!(n−r)!r!C(n, r) = \cfrac{n!}{(n-r)!r!}C(n,r)=(n−r)!r!n! , 计算 Stirling 数的值 :
S(4,2)=C(4,2)=(42)=4!(4−2)!2!=4×3×2×12×2=6S(4, 2) = C(4,2) =\dbinom{4}{2} =\cfrac{4!}{(4-2)!2!} = \cfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 6S(4,2)=C(4,2)=(24)=(4−2)!2!4!=2×24×3×2×1=6

⑤ 根据公式 : S(n,n)=1S(n,n) = 1S(n,n)=1 , 计算 Stirling 数的值 :
S(4,4)=1S(4, 4) = 1S(4,4)=1

⑥ 最终划分结果 : AAA 上有 15 个划分 ;
S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15S(4, 1) + S(4, 2) + S(4, 3) + S(4, 4) = 1 + 7 + 6 + 1 = 15S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15

6元集等价关系计算

题目 :

条件 : A={1,2,3,4,5,6}A=\{1,2,3,4,5,6\}A={1,2,3,4,5,6}
问题 : 计算AAA上的二元关系的个数和 AAA 上等价关系的个数 ;

解答 :

二元关系个数 :

1> 集合元素个数 : 集合 AAA 中有 666 个元素 , ∣A∣=6|A| = 6∣A∣=6 ;
2> 有序对个数 : ∣A∣×∣A∣=6×6=36|A| \times |A| = 6 \times 6 = 36∣A∣×∣A∣=6×6=36 ;
3> 二元关系个数 :
- ① 推演过程 : 二元关系包含 000 到 363636 不等的有序对 , 那么需要考虑以上所有情况 , 分别统计有 000 个有序对 , 111 个有序对 , 222 个有序对 , ⋯\cdots⋯ ,363636 个有序对的情况 ;
- ② 计算公式 :C(36,0)+C(36,1)+C(36,2)+⋯+C(36,36)=236C(36, 0) + C(36, 1) + C(36,2) + \cdots + C(36, 36) = 2^{36}C(36,0)+C(36,1)+C(36,2)+⋯+C(36,36)=236

等价关系个数 :

1> 一一对应 : 等价关系的个数与集合的划分数是一一对应的 ,
2> 进行划分 : 将集合 AAA 划分成 111 块 , 222 块, 333 块, 444 块, 555 块, 666 块 ;
3>写出对应式子 : 集合的划分数为 S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6)S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)

逐个求出 S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6)S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6) 每个 Stirling 数的值 ;

① 根据公式 : S(n,1)=1S(n,1) = 1S(n,1)=1 , 计算 Stirling 数的值 :
S(6,1)=1S(6, 1) = 1S(6,1)=1

② 根据公式 : S(n,2)=2n−1−1S(n,2) = 2^{n-1} - 1S(n,2)=2n−1−1 , 计算 Stirling 数的值 :
S(6,2)=26−1−1=25−1=32−1=31S(6, 2) = 2^{6-1} - 1 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31S(6,2)=26−1−1=25−1=32−1=31

③ 根据递推公式 : S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1)S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1)S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1) , 计算 Stirling 数的值 :
S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)S(6, 3) = 3S(5,3) + S(5,2)S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)

拆分成下面两部进行计算 :

( 1 ) 先计算 S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)S(5, 3) = 3S(4,3) + S(4,2)S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)

1> 其中使用公式 S(n,n−1)=C(n,2)S(n, n-1) = C(n,2)S(n,n−1)=C(n,2) 计算 S(4,3)S(4,3)S(4,3) :
- S(4,3)=C(4,2)=(42)=4!(4−2)!×2!=4×3×2×12×2=6S(4,3) = C(4,2) = \dbinom{4}{2} = \cfrac{4!}{(4-2)! \times 2!} = \cfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 6S(4,3)=C(4,2)=(24)=(4−2)!×2!4!=2×24×3×2×1=6
2> 使用公式 S(n,2)=2n−1−1S(n, 2) = 2^{n-1} - 1S(n,2)=2n−1−1 计算 S(4,2)S(4,2)S(4,2) :
- S(4,2)=24−1−1=7S(4,2) = 2^{4-1} - 1 = 7S(4,2)=24−1−1=7
3> S(5,3)S(5, 3)S(5,3) 结果 : S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)=3×6+7=25S(5, 3) = 3S(4,3) + S(4,2) =3\times 6 + 7 =25S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)=3×6+7=25

( 2 ) 在计算 S(5,2)S(5,2)S(5,2) 的结果 , 使用公式 S(n,2)=2n−1−1S(n, 2) = 2^{n-1} - 1S(n,2)=2n−1−1 进行计算 :
S(5,2)=25−1−1=15S(5, 2) = 2^{5-1} - 1 =15S(5,2)=25−1−1=15

( 3 ) 最终结果 : S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)=3×25+15=90S(6, 3) = 3S(5,3) + S(5,2) = 3\times25 + 15 =90S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)=3×25+15=90

④ 根据递推公式 : S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1)S(n,r) = rS(n-1, r) + S(n-1, r-1)S(n,r)=rS(n−1,r)+S(n−1,r−1) , 计算 Stirling 数的值 :
S(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)=4×C(5,2)+25=4×5!3!×2!+25=4×5×4×3×23×2×2+25=65S(6, 4) = 4S(5,4) + S(5,3) = 4\times C(5,2) + 25 = 4\times \cfrac{5!}{3!\times2!}+25 = 4\times \cfrac{5\times4\times3\times2}{3\times2\times2}+25=65S(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)=4×C(5,2)+25=4×3!×2!5!+25=4×3×2×25×4×3×2+25=65

⑤ 根据公式 : S(n,n−1)=C(n,2)S(n, n-1)= C(n,2)S(n,n−1)=C(n,2) , 计算 S(6,5)S(6,5)S(6,5) :
S(6,5)=C(6,2)=6!(6−2)!×2!=6×5×4×3×24×3×2×2=15S(6,5) = C(6,2) = \cfrac{6!}{(6-2)! \times2!} = \cfrac{6\times5\times4\times3\times2}{4\times3\times2 \times2} =15S(6,5)=C(6,2)=(6−2)!×2!6!=4×3×2×26×5×4×3×2=15

⑥ 根据公式 : S(n,n)=1S(n, n) = 1S(n,n)=1 , 计算 S(6,6)S(6,6)S(6,6) ;
S(6,6)=1S(6,6) = 1S(6,6)=1

⑦ 将上面计算的 666 个斯特林数相加 , 得到的结果 :
S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=1+31+90+65+15+1=203S(6, 1) + S(6, 2) + S(6, 3) + S(6, 4) + S(6, 5) + S(6, 6) = 1 + 31 + 90 + 65 + 15 + 1 =203S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=1+31+90+65+15+1=203