二叉树

数组，链表和树的比较

数组的优缺点：

优点：通过索引方式访问元素，速度非常快，时间复杂度为O(1)。对于有序数组，还可以使用二分查找来提高查找的速度。
缺点：如果要查找某个具体的值，时间复杂度为O(n)，如果要在数组中插入某个值（按一定顺序）会整体的移动，效率较低。

链表的优缺点：

优点：插入一个值，只需要创建一个节点并将节点链接到链表中即可。
缺点：在进行查找时，效率仍然较低，需要从头节点开始遍历，时间复杂度为O(n)。

树的优点：能提高数据存储和读取的效率，比如利用二叉搜索树，既可以保证数据的查找速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。

树（Tree）

树的常用术语(结合示意图理解):

节点：A、B、C、D、E、F、G、H。
根节点：A。
父节点：B是D和E的父节点。
子节点：B是A的子节点。
兄弟节点：D和E的父节点都是B、所以D的兄弟节点是E。
路径：从一个节点到另一个节点的路线。
层数：根节点A在第一层，根节点的子节点B和C在第二层，以此类推（有的教程也从0开始计数）。
左子树：节点B和节点B的子节点构成的树称为节点A的左子树。
右子树：节点C和节点C的子节点构成的树称为节点A的右子树。
森林：多棵子树构成森林。
节点的度：子节点或子树的个数。
树的度：所有节点中度的最大值。
叶子节点：没有子节点的节点，度为0的节点。
非叶子节点：度不为0的节点。
节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数（包含根节点和当前节点）。
节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数（包含当前节点和最远叶子节点）。
树的深度：所有节点深度中的最大值。
树的高度：所有节点高度中的最大值。

树的基本性质：

一棵树可以没有任何节点，为空树。
一棵树也可以只有一个节点，也就是根节点。
树的深度等于树的高度。

二叉树（Binary Tree）

二叉树：每个节点最多只能有两个子节点的树，也就是每个节点的度最大为2。

二叉树的特点：

每个节点的度最大为2，节点的度可以为0、1、2。
即使某个节点只有一个子节点，也要区分左右子节点。

二叉树的性质：

在非空二叉树的第i层，最多有2^(i-1)个节点（i>=1）。
在高度为h的树上，最多有2^h-1个节点(h>=1)。
对于任意一棵非空二叉树，如果叶子节点的个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有：n0=n2+1。

2^h-1的推导：

在高度为h的树上，树的高度即为层数，第一层最多有2^0个节点，第二层最多有2^1个节点...第n层最多有2^(h-1)个节点
设S为总节点个数，那么：
S=2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1) (公式1)
2S=2*(2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1))=2^1+2^2+...+2^h (公式2)
使用公式2减去公式1得出S=2^h-2^0=2^h-1

n0=n2+1的推导：

已知非空二叉树的叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，假设度为1的节点个数为n1，那么有：
树的总节点个树为n=n0+n1+n2
树的边条数为t=n1+2*n2（度为1的节点有一条边，度为2的节点有两条边）=n-1（每个节点头上都有一条边，除了根节点）=n0+n1+n2-1（将上面的n的公式代入）
即有n1+2*n2=n0+n1+n2-1，消除左右公共项，得出n2=n0-1，也就是n0=n2+1

真二叉树（Proper Binary Tree）

真二叉树：所有节点的度要么为0，要么为2。

满二叉树（Full Binary Tree）

满二叉树：最后一层节点的度都为0，其他节点的度都为2。

满二叉树是一棵特殊的真二叉树。

在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多。

假设满二叉树的高度为h（h>=1），那么：

第i层的节点数量：2^(i−1)。
叶子节点数量（也就是最后一层的节点数量）：2^(h−1)。
总节点数量n=2^h-1，那么h=log2(n+1)。

完全二叉树（Complete Binary Tree）

完全二叉树：二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续。

完全二叉树从根结点至倒数第2层是一棵满二叉树。

满二叉树是一棵特殊的完全二叉树。

完全二叉树的性质：

度为1的节点要么只有一个，要么没有。
度为1的节点只有左子节点。
同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小。
假设完全二叉树的高度为h（h>=1），总节点的数量为n，那么有h=floor(log2(n))+1。

h=floor(log2(n))+1的推导：

已知完全二叉树的高度为h（h>=1），总节点的数量为n：
那么总节点数量至少有2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1)+1=2^(h-1)个（从根节点到倒数第二层的满二叉树+最后一层一个节点），
最多有2^0+2^1+2^2+...+2^h=2^h-1个（满二叉树），
即2^(h-1)<=n<=2^h-1<2^h
对等式两边取对数得出：h-1<=log2(n)<h
由于h是整数，所以h=floor(log2(n))
floor是向下取整，ceiling是向上取整，另外在计算机中整数的除法默认是向下取整。

一棵有n个节点的完全二叉树（n>0），从上到下、从左到右对节点从1开始进行编号，对任意第i个节点：

如果i=1，它是根节点。。
如果i>1，它的父节点编号为floor(i/2)。
如果2i<=n，它的左子节点编号为2i。
如果2i>n ，它无左子节点，也无右子节点。
如果2i+1<=n，它的右子节点编号为2i+1。
如果2i+1>n，它无右子节点。

一棵有n个节点的完全二叉树（n>0），从上到下、从左到右对节点从0开始进行编号，对任意第i个节点：

如果i=0，它是根节点。
如果i>0，它的父节点编号为floor(i/2)。
如果2i+1<=n–1，它的左子节点编号为2i+1。
如果2i+1>n–1，它无左子节点，也无右子节点。
如果2i+2<=n–1，它的右子节点编号为2i+2 。
如果2i+2>n–1，它无右子节点。

面试题

题目：如果一棵完全二叉树有768个节点，求叶子节点的个数？

答案：768/2=384

假设完全二叉树有n个节点，度为0的节点个数为n0，度为1的节点个数为n1，度为2的节点个数为n2，那么有
n=n0+n1+n2，前面有公式n0=n2+1
即n=n0+n1+n0-1=2n0+n1-1
即n0=(n-n2+1)/2
完全二叉树的n1要么为0，要么为1
当n1为1时，n0=n/2，n一定是偶数
当n1为0时，n0=(n+1)/2，n必然是奇数
总结公式：
n0=floor((n+1)/2)=ceiling(n/2)
n1+n2=floor(n/2)=ceiling((n–1)/2)

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