matlab无限长一维原子链,优·王淑华固体物理答案第三章.ppt
故(4)式可写作 因为对于已知晶格, 和 是确定的数,因此 也是确定 的常数。此外, 的出现是由于互作用能中的非谐项引起的, 如果晶体做严格的谐振动,则 ,必有 。 3.22 证明:固体的体胀系数 ,体积V和体积弹性模量K间 满足格林爱森关系: 。式中, 为固体的定容 热容量; 是格林爱森常数。 证明:按定义,晶体的体胀系数 使用熟知的循环关系式 上式化为 (1) 式中 是体积弹性模量。 对于晶体,有格林爱森常数状态方程: (2) 式中,U(V)是0K时晶体的互作用能, 为晶体热振动的平均 总能量; 是格林爱森常数。 代回(1)式即得 无关,则有 对(2)式求微商,由于U(V)与温度 3.23 由正负离子构成的一维离子链,离子间距为 ,离子质量都为 ,电荷交替变化,即第 个离子的电荷 , 原子间的互作用势是两种作用势之和,其一为近邻两原子的短程 作用,力系数为 ;其二是所有离子间的库仑作用。证明: (1)库仑力对力常数的贡献为 (2)色散关系为 其中 (3) 时,格波为软模。 证明: (1)设离子链沿水平方向。 第 个离子右端的第 个 离子与第 个离子间的库仑力为 上式右端加一负号,是我们规定坐标的正方向指向右端。 考虑到 可将上式展成 级数, 取一级近似得 第 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为 取一级近似得 第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为 可见库仑力对力常数的贡献为 (2) 第 个离子的运动方程为 设格波解 则由离子的运动方程得 令 可得 (3) 当 有 记 则有 由此知,当 时, 由于格波的频率 因此 说明 此振动模式对应的恢复力系数 相当于弹簧振子系统 的弹簧丧失了弹性。 所以称 的振动模式为软模。 3.24一维无限长原子链,原子质量为m和M,且m> ?E时, (1) 3.高低温极限讨论 (2)低温时,当T<< ?E时, 模式密度为: (2)比热表达式 ?D为德拜温度 取 ---德拜比热函数 (1)当T>>?D时,x<<1, 3.高低温极限情况讨论 高温时与实验规律相吻合。 (2)低温时,当T<<?D时 , 由上式看出,在极低温度下,比热与T3成正比,这个规律称为德拜定律。温度越低,理论与实验吻合的越好。 3.25 已知模式密度 求: (1)?~?+d?间隔内的振动模式数; (2) ?~?+d?间隔内的声子数及晶体中总的声子数; (3) ?~?+d?间隔内的谐振子的能量及晶体的能量; 解:(1) (2) (3) 3.26 对一维简单晶格,按德拜模型,求出晶格比热,并讨论高低温极限。 解: 波矢密度: 中的波矢数目: 中的振动模式数目: 高温时: 低温时: 把(1)式代入运动方程 (2) 并把试探解 据此得色散关系 (3) 2)长波极限下, 都是小量 同时代入,消去公因子后得 所以 格波的传播速度 可见,在长波极限下,格波的传播速度与波矢q无关。 (3)式变为 3.9 一维单原子链,原子质量为m,原子间距为a。计及所有原 子间的长程作用,且最近邻、次近邻、次次近邻原子间恢复力 常数依次为 1)求格波的色散关系; 2)若恢复力常数取 式中, 常”现象:当 解:1)设第n个原子对平衡位置的位移为 ,第n+p和n-p个 原子的位移分别记为 和 ,则第n+p 为常数,p遍取所有的整数值,试证明“科恩(Kohn)反 。 和第n-p个原子对第n个原子的作用力可写成 链上每个原子与第n个原子都有相互作用,故第n个原子的运动 方程应为 设试探解为 代入运动方程可得 故格波的色散关系为 (1) 2)若 代入(1)式得 当 时,由上式得到 (2) 因为 ,(2)式的求和对无穷原子系列进行,故 必有 或 对q的关系曲线在 处有一条垂直的切线,即 曲线在 点处扭折,这就是“科恩反常”现象。 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为
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