2020考研数学一大纲之完全解析（四）
向量代数和空间解析几何
- 本节大纲内容
- 考试要求
- 考试内容
- 向量的概念
- 向量的线性运算，向量的数量积和向量积
- 向量的混合积
- 两向量垂直、平行的条件
- 两向量的夹角
- 向量的坐标表达式及其运算
- 单位向量
- 方向数与方向余弦
- 曲面方程和空间曲线方程的概念
- 常见曲面
- 球面
- 柱面
- 旋转曲面
- 常用的二次曲面方程及其图形
- 空间曲线的参数方程和一般方程
- 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
- 平面方程
- 直线方程
- 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件
- 点到平面和点到直线的距离
- 补充
- 平面束方程
本节大纲内容
考试要求
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.掌握平面方程和直线方程及其求法.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角.会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题.会求点到直线以及点到平面的距离.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.
考试内容
向量的概念
向量的线性运算，向量的数量积和向量积
向量的混合积
定义：
设 a ，b 与 c 是三个向量，(a x b) · c 称为三个向量a，b，c的混合积，记作[a b c]或[a,b,c]，即
[a b c] = (a x b) · c = | a x b| |c| cosβ
其中 β是向量 (a x b) 与 c 的夹角。
先向量积后数量级，最终结果是一个实数。三向量的混合积的几何意义：
它的绝对值 |(a x b) · c| 表示以a，b，c 为棱的平行六面体的体积。
根据右手定则，确定混合积的符号。如果[a b c] = 0，即平行六面体的体积为零，也就是说 a，b，c 共面。由此可知三向量共面的充要条件是三向量的混合积为零。
向量的混合积的运算性质：
（1）(a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b). // 注意本性质的顺序性
（2）(k a,b,c) = ( a,kb,c) = ( a,b,kc) = k( a,b,c).
（3）(a1+a2,b,c) = (a1,b,c) + (a2,b,c)两向量垂直、平行的条件
两向量的夹角
利用向量的数积即可计算。
向量的坐标表达式及其运算
单位向量
（1）基本单位向量：针对坐标系来说的，坐标系正向的单位化 。
（2）非零向量a的单化：
方向数与方向余弦
方向数和方向角是不同的。
关于方向数：
曲面方程和空间曲线方程的概念
建立了空间曲面及其方程的联系后，就可以通过研究方程来了解曲面的几何性质，与平面解析几何类似，空间解析几何主要研究两个基本问题：
为了讨论方便，先简单介绍平面的一般方程
空间中任一平面方程可以用三元一次方程
来表示，反之亦然。其中A，B，C是不全为零的常数。此方程称为平面的一般方程。特别地，xOy、yOz、xOz平面的方程是z = 0，x = 0，y = 0。而x = c，y = c，z = c分别表示平行于坐标面yOz、xOz、xOy的平面。
常见曲面
球面
柱面
旋转曲面
常用的二次曲面方程及其图形
空间曲线的参数方程和一般方程
空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
平面方程
直线方程
平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件
（1）两平面垂直的充要条件是：法向量互相垂直。
（2）两平面平行的充要条件是：法向量平行。
（3）两直线垂直的充要条件是：方向向量垂直。
（4）两直线平行的充要条件是：方向向量平行。
（5）直线与平面平行的充要条件是：方向向量与法向量平行。
（6）直线与平面垂直的充要条件是：方向向量与法向量垂直。点到平面和点到直线的距离
补充
平面束方程
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