[NOIP2017 提高组] 逛公园

题目描述

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 NNN 个点 MMM 条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中 111 号点是公园的入口，NNN 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从 111 号点进去，从 NNN 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果 111 号点到 NNN 号点的最短路长为 ddd，那么策策只会喜欢长度不超过 d+Kd + Kd+K 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对 PPP 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 −1-1−1。

输入格式

第一行包含一个整数 TTT, 代表数据组数。

接下来 TTT 组数据，对于每组数据：第一行包含四个整数 N,M,K,PN,M,K,PN,M,K,P，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来 MMM 行，每行三个整数 ai,bi,cia_i,b_i,c_iai,bi,ci，代表编号为 ai,bia_i,b_iai,bi 的点之间有一条权值为 cic_ici 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出文件包含 TTT 行，每行一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

3
-1

提示

【样例解释1】

对于第一组数据，最短路为 333。 1→5,1→2→4→5,1→2→3→51\to 5, 1\to 2\to 4\to 5, 1\to 2\to 3\to 51→5,1→2→4→5,1→2→3→5 为 333 条合法路径。

【测试数据与约定】

N≤105N \leq 10^5N≤105，M≤2×105M \leq 2\times10^5M≤2×105，K≤50K \leq 50K≤50。

思路

最短路+dp

本题需要建正、反两张图，正图用于求最短路，反图用于记忆化搜索和dp。

由于本题目中约定每条边的权值≥0\geq 0≥0，所以图中不存在负环，可以在正图上运行迪杰斯特拉算法求出起点到所有结点的最短距离，保存在数组d[]中，其中，d[i]表示起点到结点i的最短距离。

然后就到了本题的精髓之处：动态规划。定义状态dp[i][k]表示：从起点到结点i的长度恰好为d[i]+k的路径的条数。显然，问题所求的答案为：dp[n][0] + dp[n][1] + ... + dp[n][K]。然后考虑状态之间的转移。假设在正图中有一条有向边(v,u)(v,u)(v,u)，其权值为www，则我们可以通过状态dp[v][x]转移到状态dp[u][k]。对于结点u, v有如下关系：
d[u]+x+w=d[v]+kd[u]+x+w=d[v]+kd[u]+x+w=d[v]+k
于是有：
x=d[v]−d[u]+k−wx=d[v]-d[u]+k-wx=d[v]−d[u]+k−w
由此，我们得到状态转移方程：
dp[u][k]=∑(v,u)∈G1dp[u][d[v]−d[u]+k−w]dp[u][k]=\sum_{(v,u)\in G_1}dp[u][d[v]-d[u]+k-w]dp[u][k]=(v,u)∈G1∑dp[u][d[v]−d[u]+k−w]

在反图上进行记忆化搜索即可实现动态规划。

然后我们考虑输出为-1的情况：分析题目可知，只有当图中存在零环，且该零环中某一结点出现在某条合法路径上时，最终输出才为-1。我们可以在记忆化搜索的过程中找出零环。假设当前要求dp[i][k]，我们沿着返图进行记忆化搜索，在得到最终的dp[i][k]之前，我们如果回到了dp[i][k]，说明结点i在一个零环上。

我们还需要考虑动态规划的边界条件。首先，对于任意一个点i，当k<0k<0k<0时，dp[i][k]一定为0。再者，我们在进行真正的记忆化搜索前，需要先记忆化搜索dp[1][0]，如果在搜索的过程中发现零环，则直接输出-1即可，否则令dp[1][0]为1。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
using namespace std;int T;
int n, m, K, p;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
int head1[maxn], head2[maxn];
int d[maxn];
bool vis[maxn];
int dp[maxn][55];
bool ins[maxn][55];
bool infty;
int ans;struct EDGE{int to;int v;int next;
}edge1[maxn], edge2[maxn];void addEdge1(int fr, int to, int v){cnt1++;edge1[cnt1].to = to;edge1[cnt1].v = v;edge1[cnt1].next = head1[fr];head1[fr] = cnt1;
}void addEdge2(int fr, int to, int v){cnt2++;edge2[cnt2].to = to;edge2[cnt2].v = v;edge2[cnt2].next = head2[fr];head2[fr] = cnt2;
}struct cmp{bool operator()(pair<int, int>p1, pair<int, int>p2){return p1.second>p2.second;}
};void dij(int i){memset(d, 37, sizeof(d));priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, cmp> q;q.push(make_pair(i, 0));d[i] = 0;while(!q.empty()){pair<int, int> p = q.top(); q.pop();int pos = p.first;if(vis[pos]) continue;vis[pos] = 1;for(int i=head1[pos];i!=0;i=edge1[i].next){int to = edge1[i].to, v = edge1[i].v;if(vis[to]) continue;if(d[to]>d[pos]+v){d[to] = d[pos]+v;q.push(make_pair(to, d[to]));}}}
}void dfs(int u, int k){if(infty) return;if(k<0) return;if(ins[u][k]){infty = true;return;}if(dp[u][k]!=0) return;ins[u][k] = true;int res = 0;for(int i=head2[u];i!=0;i=edge2[i].next){int to = edge2[i].to, v = edge2[i].v;int x = d[u]-d[to]+k-v;dfs(to, x);if(x>=0) res += dp[to][x];res %= p;}dp[u][k] = res;ins[u][k] = false;
}void init(){cnt1 = cnt2 = 0;memset(head1, 0, sizeof(head1));memset(head2, 0, sizeof(head2));memset(edge1, 0, sizeof(edge1));memset(edge2, 0, sizeof(edge2));memset(d, 0, sizeof(d));memset(vis, 0, sizeof(vis));memset(ins, 0, sizeof(ins));memset(dp, 0, sizeof(dp));infty = false;ans = 0;
}int main(){cin>>T;while(T--){init();cin>>n>>m>>K>>p;for(int i=0;i<m;i++){int a, b, c;cin>>a>>b>>c;addEdge1(a, b, c);addEdge2(b, a, c);}dij(1);dfs(1, 0);dp[1][0] = 1;if(infty){cout<<-1<<'\n';continue;}for(int i=0;i<=K;i++){dfs(n, i);if(infty) break;ans += dp[n][i];ans %= p;}if(infty) cout<<-1<<'\n';else cout<<ans<<'\n'; }return 0;
}

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