离散信号（七）| 离散傅里叶变换（DFT）推导

离散傅里叶变换（DFT）

离散信号的傅里叶变换DTFT，它是Ω\OmegaΩ的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在实际中往往难于计算，尤其在数字计算机上实现有困难。为此我们需要一种时域和频域都离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transformation），简称DFT。DFT的导出有多种方法，比较方便同时物理意义也比较明确的是从离散傅里叶级数（DFS）着手。由于时域和频域都是离散的，因而这种傅里叶变换对有其特殊性质，这些性质使DFT在实际应用中有时会产生误解。DFT有快速计算方法，即快速傅里叶变换（FFT）。

从离散傅里叶级数（DFS）到离散傅里叶变换（DFT）

考虑有限长序列x(n)(0≤n≤N−1)x(n)(0\leq n\leq N-1)x(n)(0≤n≤N−1)，将其按周期N进行延拓，得到周期序列
xp(n)=∑rx(n+rN)(r为任意整数)x_p(n)=\sum_{r}x(n+rN) \quad (r为任意整数) xp(n)=r∑x(n+rN)(r为任意整数)
我们把x(n)x(n)x(n)称为主值序列，它也是周期序列xp(n)x_p(n)xp(n)的主值区间序列。由于xp(n)x_p(n)xp(n)是周期为N的周期序列，可以展开成离散傅里叶级数DFS
Xp(kΩ0)=1N∑n=0N−1xp(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1X_p(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_p(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 Xp(kΩ0)=N1n=0∑N−1xp(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1
Xp(kΩ0)X_p(k\Omega_0)Xp(kΩ0)是周期为N的，离散的，它的反变换为
xp(n)=∑k=0N−1Xp(kΩ0)ejkΩ0nx_p(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X_p(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} xp(n)=k=0∑N−1Xp(kΩ0)ejkΩ0n
虽然它也是离散的、周期为N的序列。由于Xp(kΩ0)X_p(k\Omega_0)Xp(kΩ0)的周期性，我们也可以取它的一个周期为主值区间(0≤k≤N−1)(0\leq k\leq N-1)(0≤k≤N−1)，主值区间的Xp(kΩ0)X_p(k\Omega_0)Xp(kΩ0)记为X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)。当xp(n)x_p(n)xp(n)和Xp(kΩ0)X_p(k\Omega_0)Xp(kΩ0)都取主值区间序列时，显然有
X(kΩ0)=1N∑n=0N−1x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(8)X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{8} X(kΩ0)=N1n=0∑N−1x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(8)
和
x(n)=∑k=0N−1X(kΩ0)ejkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(9)x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{9} x(n)=k=0∑N−1X(kΩ0)ejkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(9)
同DTFT一样，非周期序列的傅里叶变换是信号的频谱密度，所以将式（8）乘以N，同时考虑到离散的频谱可用序列来表示，所以定义长度为N的有限长序列x(n)x(n)x(n)的离散傅里叶变换（DFT）X(k)X(k)X(k)为
X(k)=NX(kΩ0)=∑n=0N−1x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(10)X(k)=NX(k\Omega_0)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{10} X(k)=NX(kΩ0)=n=0∑N−1x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(10)
并由式（9）和式（10），可得X(k)X(k)X(k)的DFT反变换
x(n)=1N∑k=0N−1NX(kΩ0)ejkΩ0n=1N∑k=0N−1X(k)ejkΩ0nn=0,1,2,⋯,N−1(11)x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}NX(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{jk\Omega_0 n} \quad n=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{11} x(n)=N1k=0∑N−1NX(kΩ0)ejkΩ0n=N1k=0∑N−1X(k)ejkΩ0nn=0,1,2,⋯,N−1(11)
同样，把满足式（10）和式（11）的x(n)x(n)x(n)和X(k)X(k)X(k)称为离散傅里叶变换（DFT）对，简记为
x(n)↔DFTX(k)x(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k) x(n)↔DFTX(k)
只要从DFS变换对截取序列的主值，就构成了DFT变换对。但是它们在本质意义上还是有区别的，DFS是按傅里叶分析严格定义的，而DFT是一种”借用“的形式，因为我们知道，有限长序列x(n)x(n)x(n)是非周期性的，故它的傅里叶变换是连续的、周期性的，现在，我们人为地把x(n)x(n)x(n)按周期延拓成离散的、周期性的序列xp(n)x_p(n)xp(n)，得到离散的、周期性的频率函数Xp(kΩ0)X_p(k\Omega_0)Xp(kΩ0)，然后利用x(n)x(n)x(n)是xp(n)x_p(n)xp(n)的主值序列，借用取主值的方法，得出DFT的定义，这样处理的结果相当于把原来x(n)x(n)x(n)的连续的、周期性的频谱离散化了。事实上，我们完全可以从非周期性序列的傅里叶变换DTFT出发，按采样间隔Ω0=2πN\Omega_0=\frac{2\pi}{N}Ω0=N2π实现原连续频域函数X(Ω)X(\Omega)X(Ω)离散化，来得到离散傅里叶变换DFT。