Python中的数学运算

一、加减乘除运算

张量（数组）之间的+、-、*、/，在python支持自动Broadcast机制。不过不是所有的张量之间都支持，需要进行普适性判断
Broadcasting普适性判断：
首先将两个shape靠右对齐，
对于长度为1的维度，默认这个数据普遍适合于当前维度的其他位置；
对于不存在的维度，则在增加新维度后默认当前数据也是普适于新维度的，从而可以扩展为更多维度数、任意长度的张量形状。
若对齐之后shape对应维度的值都大于1且不相等，则不满足。例如：

a.shape:(2,32,32,4),b.shape:(2,1,32,4),c.shape:(2,32,4),d.shape:(2,32,32,2)
a*b满足普适性 b会自动扩展为(2,32,32,4)
a*c不满足普适性
a*d不满足普适性

张量之间的加减乘除运算要求张量维度一样或者满足普适性原则（自动扩展后维度一样）
张量之间的加减乘除运算都是逐元素的，满足交换律

import numpu as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([2,2,3])
a*b：array([2, 4, 9])
b*a：array([2, 4, 9])

可以通过np.sum和运算符*实现向量投影

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([2,2,3])
c = np.sum(a*b,0)/np.linalg.norm(b) # 向量a在向量b上的投影

可以通过np.sum和运算符*实现类似np.dot的效果，例如将多组向量批量旋转到世界坐标系

# dirs 是相机坐标系的多组向量构成的，dirs.shape:(1024,1024,3)，即1024*1024组方向向量
# c2w 是由相机坐标系变换到世界坐标系的矩阵（视图矩阵的逆矩阵）
# c2w[:3, :3] 是视图矩阵中旋转矩阵的转置
world_dirs = np.sum(dirs[..., np.newaxis, :] * c2w[:3, :3], -1)
# 以上代码实现效果类似于c2w@dirs，但由于dirs.shape是(1024,1024,3)，虽然意义上是1024*1024组方向向量
# 但实际存储是将dirs作为多维数组
# 所以c2w@dirs（属于下面⑤）:(3,3)X(1024,1024,3)不满足普适性，不能用矩阵乘法

二、矩阵相乘运算

方式：可以通过@运算符；可以通过np.dot；可以通过tf.mutmul函数
通过上述方式进行运算时，若两个张量均是二维矩阵则即是普通的矩阵乘法，而其他类型有所不同，具体如下：
np.dot(a,b)
①如果a、b均是1维数组，则为向量内积
②如果a、b均是2维数组，则均为矩阵乘法
③如果a或b是标量，则与上述运算符*相同
④如果a是N(>=2)维数组，b是1维数组，进行运算时，会首先将后面一项进行自动转置操作并将1维数组自动转换为矩阵，之后再进行矩阵乘法运算,最后结果还原成N阶向量
注意不满足交换律，np.dot(a,b)和np.dot(b,a)结果都是N阶向量，但向量元素值不一样
注意，在numpy中，若b.shape:(3,1)则代表b是一维矩阵，与向量不同，若此时a@b则属于第二类，是矩阵乘法，结果为(N,1)的矩阵
⑤如果a是N(N>2)维数组，b是M(M>=2)维数组，则采用批量方式,选择a和b的最后两个维度进行矩阵相乘，前面所有的维度都视作Batch维度。
根据矩阵相乘的定义，

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