Day3

Day3-part1
- 问题描述
- 公共子序列解决思路
- - 递推公式的确定
- 获取序列信息
Day3-part2
- 问题描述
- 0/1背包解决思路
- 找到具体放入的物品
- 一种可行的解决方案

Day3-part1

Longest Common Subsequence 最长公共子序列问题

问题描述

这里主要想解决的问题是，确定两个字符串所包含的公共序列，允许字符之间存在间隙，但是不允许改变字符之间的顺序，例如：
序列1： GATTACA
序列2： TACTGTC
最长公共子序列显然为： ATTC，但是如何确定公共子序列最大长度，以及具体是什么呢？

公共子序列解决思路

[1 ] 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
[2 ] 确定递推公式
[3 ] dp数组如何初始化
[4 ] 确定遍历顺序
[5 ] 举例推导dp数组

我们解决这个问题，如果分别从两个序列的头部向后看，比如现在：
S_source=GATTACA
S_target=TACTGTC
从target第一个元素开始看起

GATTACT
TAC
此时LCS=3，因为S_target后续元素T，在source中找不到了，最大的长度就为3！

同理，如果反过来看呢：

TACTGTC
GATTACA
此时LCS=3，因为后续元素找不到了，最大的长度就为3！

因此，很自然我们可以想到，想获取最长公共子序列，需要两个字符串序列，分别去对方的序列中寻找，那么dp数组应该是一个二维数组。dp数组每个位置的含义是什么呢？
dp[i][j] 对应的是 S_target[0:j] 在序列 S_source[0:i] 中，两者对应的最大公共子序列。
比如： dp[0][5]对应的是 ‘G’ 在序列 ‘TACTGT’ 中的公共子序列长度， 显然为1
比如： dp[3][5]对应的是 ‘GATT’ 在序列 ‘TACTGT’ 中的公共子序列长度， 显然为3

s_source='GATTACA'
s_target='TACTGTC'
dp=[[0 for i in range(len(s_target))] for j in range(len(s_source))]

下图为对应生成的二维数组，并且全部由0充满

那么，我们应该对dp数组进行初始化。根据如上的分析，很容易对第一行和第一列进行初始化

for i in range(len(s_target)):if s_source[0]==s_target[i]:for j in range(i,len(s_traget)):result[0][j]=1break
for i in range(len(s_source)):if s_target[0]==s_source[i]:for j in range(i,len(s_source)):result[j][0]=1break

递推公式的确定

动态规划的核心是确定递推公式，针对很多问题应该首先确定递推公式，随后确定dp数组初始化，但是在这里的话，为了针对分析的便利显示，我们首先将图绘出，进行分析。
针对问号点的数值我们应该如何确定呢？

针对点dp[ i ] [ j ]，如果满足s_source[ i ] == s_target[ j ]的话，那公共子序列的长度肯定就会+1
是针对谁+1呢？显然是针对dp[ i-1 ] [ j-1 ]的数值+1，即针对上一个状态+1
if s_source[ i ] == s_target[ j ] → dp[ i ] [ j ]=dp[ i-1 ] [ j-1 ]+1
当时当 s_source[ i ] ！= s_target[ j ]，现在应该执行什么操作呢？
想一想~
那现在肯定不能是前一个状态+1了，甚至说，都不应该考虑+1的事情了！
但是现在还是想知道公共子序列的最长长度，那么现在dp[ i ] [ j ] 应该就是对应未进入i，j状态的最大值了！
dp[ i ] [ j ] =max（dp[ i-1 ] [ j ]，dp[ i ] [ j-1 ]）
if s_source[ i ] ！= s_target[ j ] → dp[ i ] [ j ]=max（dp[ i-1 ] [ j ]，dp[ i ] [ j-1 ]）

for i in range(1,len(s_source)):for j in range(1,len(s_target)):if s_source[i]==s_target[j]:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1else:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

至此，可以获得完全的dp矩阵，最大子序列长度应当出现在dp[ len(s_source)-1 ][ len(s_target)-1 ]
即右下角的点的值！

获取序列信息

如何获得子序列信息分别是什么呢？
需要进行的操作是从右下角开始寻找，逐步往上或者往左移动，标记dp[ i ][ j ] >dp[ i-1 ][ j ] 同时dp[ i ][ j ] >dp[ i ][ j-1 ]的点，对应的字符即为我们想知道的子序列

common_string=[]
i=len(s_source)-1
j=len(s_target)-1
while(i>=1 and j>=1):if dp[i][j]>dp[i-1][j] and dp[i][j]>dp[i][j-1]:common_string.append((s_source[i]))i-=1j-=1elif dp[i][j]==dp[i-1][j]:i-=1elif dp[i][j]==dp[i][j-1]:j-=1
return common_string

Day3-part2

The 0/1 knapsack Problem 0/1背包问题

问题描述

你有一个背包需要填充，背包的体积容量有要求。针对每个物品，你只可以选择0件/1件。每个物品有自己的体积（重量），和他对应的价值，现在你要做的事情：合理选择物品获得背包最大价值！
物品（items）：（ wi , valuei ）物品重量、价值
（3，9）；（1，7）；（12，18）；（5，3）；（2，11）
背包容量：10 最大价值：9+7+11=27 选择物品：3+1+2
穷举的话，肯定是可以举出来的，但是这是否有点太暴力了。
我们在这里想一下用动态规划怎么来做呢？

0/1背包解决思路

[1 ] 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
[2 ] 确定递推公式
[3 ] dp数组如何初始化
[4 ] 确定遍历顺序
[5 ] 举例推导dp数组

第一步，确定dp数组，这里的dp数组我们首先想到的是，延续part1的思路，我们构建一个二维数组。
整个二维数组，row=len(items), column=weight+1。
行代表是否放入某个物品进行考虑，列代表针对不同容量的背包从0容量开始考虑。
dp[ i ][ j ] 代表目前情况下背包内能放下的最大价值。

第二步，确定递推公式。
针对任意的 i，j。i 代表是否要放入物品 i ，j 代表的是当前的背包容量。很直观我们想到的是双重循环，先遍历 i 再遍历 j。针对dp[ i ][ j ]，肯定要取当前能取到的最大值，才能确保背包含有的价值是最大值。
dp[ i ][ j ]的取值无非是两种情况：

不放入items[ i ]，那么dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ] ,也就是说和不放入的情况一模一样喽！
如果放入items[ i ]，那么dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j-items[ i ][ 0 ] ]+items[ i ][ 1 ] (这个不懂看图)

现在看我画圈圈的地方，现在是不是针对背包容量为5，考虑item（1，7）的情况！
如果不放入item的话，那么dp[ i ][ j ]=9
如果放入item的话，那么就相当于上一行背包容量为4的时候的值**（黄色点）**，再加上item（1，7），dp[ i ][ j ]=9+7=16，这两个取最大值就是这个红色圈圈应该放进去的值，对吧！
dp[ i ][ j ]=max(dp[ i-1 ][ j ], dp[ i-1 ][ j-items[ i ][0]] +items[ i ][ 1 ])

第三步，dp数组初始化
这一步也很简单的对吧！因为最开始肯定是空空荡荡的背包喽，每个点的价值都会是0！
dp[ i ][ j ]=0，千真万确。

第四步，确定遍历顺序
遍历顺序：先行后列，前面有说过，那么现在通过我们的代码实现吧！

value=[[3,9],[1,7],[12,18],[5,3],[2,11]
] #前项代表重量，后项代表价值
def get_max_value(weight):dp=[[0 for i in range(weight+1)] for j in range(len(value)+1)]for i in range(1,len(value)+1):for j in range(1,weight+1):if j >=value[i-1][0]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-value[i-1][0]]+value[i-1][1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]return dp[len(value)][weight]

def get_max_value(weight):dp=[[0 for i in range(weight+1)]for j in range(len(value))]for i in range(value[0][0],weight+1):dp[0][i]=value[0][1]for i in range(1,len(value)):for j in range(0,weight+1):if j>=value[i][0]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-value[i][0]]+value[i][1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]return dp[len(value)-1][weight]

这就是执行完的样子了，右下角就是最大价值了，自己动手实现一下吧！

找到具体放入的物品

那么，我们怎么才能知道具体放入了什么物品呢？

因为在dp数组中，最后一列代表着背包容量为weight的最大价值，那么在这里对最后一列进行分析。

27-16=11 筛选出item(2,11)
16-9=7 筛选出item（1,7）
9-0=9 筛选出item(3,9)
最终得到结果 item（2，1，3）

这里理解怎么出来的就好，基本上不会让你去实现的，fine！
现在pdf上面的内容就实现完了！Day3你已经成功拿下了！

一种可行的解决方案

现在我们的dp数组是一个二维数组对吧！这肯定会占用很大的存储空间，我们用一维数组能不能处理这个事情呢，可以的，是可以的。

数组递推方法：

dp[ i ]=max(dp[ i ],dp[ i-items[ i ][ 0 ] ]+items[ i ][ 1 ] )
还是考虑两种情况，是否放入items[i]
如果不放入： dp[ i ]=dp[ i ]
如果放入： dp[ i ]=dp[ i-items[ i ][ 0 ] ]+items[ i ][ 1 ] 想一下为什么呢？其实和二维是一样的，就是预留容量价值 + 物品价值！
两者取最大值是不是就完事了！

数组初始化：
初始均为0

def max_value(weight):dp=[0]*(weight+1)for i in range(len(value)):for j in range(weight,value[i][0]-1,-1):dp[j]=max(dp[j],dp[j-value[i][0]]+value[i][1])return dp[weight]

注意仔细阅读两层循环嵌套，第二层循环嵌套，是不是逆向进行的？为什么要逆向呢？
自己想一下，如果是正向的话，如果重量满足情况，在不断更新中，是不是将这个物体重复放入了，这样就不是 0/1背包 问题了！

自己动手实现吧，辛苦了！

海客谈瀛洲，烟涛微茫信难求。

越人语天姥，云霞明灭或可睹。

天姥连天向天横，势拔五岳掩赤城。

天台一万八千丈，对此欲倒东南倾。

我欲因之梦吴越，一夜飞度镜湖月。

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