【例题】利用伴随矩阵求逆矩阵

【例1：同济线代习题二 9.1】求下列矩阵的逆矩阵：
A=(1225)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} A=(1225)

解答　因为 ∣A∣=5−4=1≠0|\boldsymbol{A}| = 5 - 4 = 1 \ne 0∣A∣=5−4=1=0，所以 A\boldsymbol{A}A 可逆。有
A−1=1∣A∣A∗=(5−2−21)\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=(5−2−21)

【例2：同济线代习题二 9.2】求下列矩阵的逆矩阵：
A=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} A=(cosθsinθ−sinθcosθ)

解答　因为 ∣A∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1≠0|\boldsymbol{A}| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \ne 0∣A∣=cos2θ+sin2θ=1=0，所以 A\boldsymbol{A}A 可逆。于是有
A−1=1∣A∣A∗=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=(cosθ−sinθsinθcosθ)

【例3：同济线代习题二 9.３】求下列矩阵的逆矩阵：
A=(12−134−25−41)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \\ \end{pmatrix} A=⎝⎛13524−4−1−21⎠⎞

解答　因为 ∣A∣=4+(−20)+12−(−20)−8−6=2≠0|\boldsymbol{A}| = 4 + (-20) + 12 - (-20) - 8 - 6 = 2 \ne 0∣A∣=4+(−20)+12−(−20)−8−6=2=0，所以 A\boldsymbol{A}A 可逆。于是有
A−1=1∣A∣A∗=12(−420−136−1−3214−2)=(−210−1323−12−167−1)\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ -13 & 6 & -1 \\ -32 & 14 & -2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -\frac{13}{2} & 3 & -\frac{1}{2} \\ -16 & 7 & -1 \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=21⎝⎛−4−13−3226140−1−2⎠⎞=⎝⎛−2−213−161370−21−1⎠⎞

【例4：同济线代习题二 9.4】求下列矩阵的逆矩阵：
A=(a10a2⋱0an)(a1a2⋯an≠0)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_1 & & & 0 \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n \\ \end{pmatrix} \hspace{1em} (a_1 a_2 \cdots a_n \ne 0) A=⎝⎛a10a2⋱0an⎠⎞(a1a2⋯an=0)

解答　因为 ∣A∣=a1a2⋯an≠0|\boldsymbol{A}| = a_1 a_2 \cdots a_n \ne 0∣A∣=a1a2⋯an=0，所以 A\boldsymbol{A}A 可逆。

矩阵 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 是对角行列式，只有主对角线上的 nnn 个元素不是 000。因此，对于任意 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 中的 (i,j)(i,j)(i,j) 元的余子式 MijM_{ij}Mij：

当 i=ji = ji=j 时，划去第 iii 行和第 iii 列后的新行列式 ∣B∣|\boldsymbol{B}|∣B∣ 仍为对角行列式，显然有 ∣B∣=a1⋯ai−1ai+1⋯an|\boldsymbol{B}| = a_1 \cdots a_{i-1} a_{i+1} \cdots a_n∣B∣=a1⋯ai−1ai+1⋯an；

当 i≠ji \ne ji=j 时，划去第 iii 行和第 jjj 列后，∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 的主对角线上的 (i,i)(i,i)(i,i) 元和 (j,j)(j,j)(j,j) 元均被划去，此时新行列式 ∣B∣|\boldsymbol{B}|∣B∣ 中只有 n−2n-2n−2 个元素不为 000，但 ∣B∣|\boldsymbol{B}|∣B∣ 为 n−1n-1n−1 阶方阵，因此 ∣B∣|\boldsymbol{B}|∣B∣ 中一定有一行和一列中所有元素均为 000，进而 ∣B∣=0|\boldsymbol{B}| = 0∣B∣=0。

于是有
A−1=1∣A∣A∗=1a1a2⋯an(a2⋯an0a1a3⋯an⋱0a1⋯an−1)=(1a101a2⋱01an)\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{a_1 a_2 \cdots a_n} \begin{pmatrix} a_2 \cdots a_n & & & 0 \\ & a_1 a_3 \cdots a_n & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_1 \cdots a_{n-1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} & & & 0 \\ & \frac{1}{a_2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{a_n} \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=a1a2⋯an1⎝⎛a2⋯an0a1a3⋯an⋱0a1⋯an−1⎠⎞=⎝⎛a110a21⋱0an1⎠⎞

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