1.基本理论

1.1因子分析的基本思想

1.2因子分析模型

1.3因子分析的基本步骤

2.因子载荷求解

2.1极大似然法

2.2主成分法

2.3主成分方差最大化正交因子旋转法

2.4绘制因子载荷图

2.5绘制每个学生因子得分图

1.基本理论

1.1因子分析的基本思想

因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。它的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即公共因子。对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。

1.2因子分析模型

（1）X = (x1，x2，…，xp）是可观测随机向量，均值向量E(X)=0，协方差阵Cov(X)=∑，且协方差阵∑与相关矩阵R相等（只要将变量标准化即可实现）。

（2）F = (F1，F2，…，Fm）（m<p）是不可测的向量，其均值向量E(F)=0，协方差矩阵Cov(F) =I，即向量的各分量是相互独立的。

（3）e = (e1，e2，…，ep）￠与F相互独立，且E(e)=0， e的协方差阵∑是对角阵，即各分量e之间是相互独立的，则模型：

称为因子分析模型，由于该模型是针对变量进行的，各因子又是正交的，所以也称为R型正交因子模型。

其矩阵形式为：x =AF + $\varepsilon$

我们把F称为X的公共因子或潜因子，矩阵A称为因子载荷矩阵， $\varepsilon$ 称为X的特殊因子。A = (aij），aij为因子载荷。数学上可以证明，因子载荷aij就是第i变量与第j因子的相关系数，反映了第i变量在第j因子上的重要性。

1.3因子分析的基本步骤

（1）根据研究的问题选取原始变量

（2）对原始变量进行标准化并求出相关阵，分析变量之间的相关性

（3）求解初始公因子及其因子载荷矩阵

（4）因子旋转

（5）计算因子得分

（6）绘制因子载荷图，因子得分图

例题：下图是学生的六门成绩数据，试对数据进行因子分析。

2.因子载荷求解

2.1极大似然法

R语言代码：

#加载包
library("readxl")
library("psych")
library("GPArotation")#读取数据
data<-read_xlsx("D:/桌面文件/12.xlsx")
data#计算样本相关矩阵
R<-cor(data)
R#碎石图
par(mfrow=c(1,1))
screeplot(princomp(data),type="lines")#用极大似然法做因子分析
factanal(data,factors = 3,rotation = "none")

运行结果：

从图中可知，可以分为3个因子

第一个矩阵为原始数据的相关矩阵，从图中可以看出，x4,x5与x6之间存在较强的相关性，使用极大似然法的因子分析等方法可以消除个变量之间的相关性，以此来提取因子。从极大似然法做因子分析的结果来看，前两个的累计贡献率为78.9%.

2.2主成分法

当相关变量所取单位不同时，常常先对变量标准化，标准化变量的样本协方差阵就是原始变量的样本相关阵R,再用R代替S,与上类似,即可得主成分解。

R语言代码：

#主成分法做因子分析
fac<-principal(data,3,rotate="none")

运行结果：

从图中来看使用主成分因子分析的结果来看，前两个因子的累计贡献率达到了86%，对比极大似然法的78.9%，所来可以得到用主成分因子分析的结果要优于极大似然法做因子分析。造成改结果的原因是，极大似然法做因子分析要求数据样本服从多元正态分布，但是现实中的数据很难满足要求，因此可以采用基于主成分的方差最大化做因子正交旋转。

2.3主成分方差最大化正交因子旋转法

因子分析的目的不仅是求出公共因子，更主要的是应该知道每个公因子的实际意义.但由于前面介绍的估计方法所求出的公因子解，其初始因子载荷矩阵并不满足“简单结构准则”，即各个公因子的典型代表变量很不突出，因而容易使公因子的实际意义含糊不清，不利用对因子的解释.为此，必须对因子载荷矩阵施行旋转变换，使得因子载荷的每一列各元素的平方按列向0或1两极转化，达到其结构简化的目的.

R语言代码：

#主成分法,方差最大化做因子正交旋转
fac1<-principal(data,3,rotate="varimax")#计算因子得分
fac1$scores

运行结果：因子得分

从主成分方差最大化正交因子旋转法的运行结果来看，前两个因子累计贡献率为86%，跟前面主成分的结果一致。第一个因子为语文（x4）,历史(x5)，英语(x6)三个科目具有强烈正相关，相关系数分别为0.83，0.81，0.89；第二个因子为数学（x1），物理（x2），化学（x3）有强烈正相关，相关系数分别为：0.87，0.82，0.85，则第一个可以成为文科因子，第二个可以成为理科因子。即正交旋转后因子的含义更加清晰。

2.4绘制因子载荷图

R语言代码：

#绘制因子载荷图
plot(fac1$loadings,xlab="Factor1",ylab="Factor2")

运行结果：

从图中的两个因子的载荷图来看，x4，x5，x6离第一个因子代表的横轴近，x1，x2，x3里第二个因子所代表的横轴近。

2.5绘制每个学生因子得分图

#绘制每个学生的因子得分图与原坐标在因子上的方向，反应因子与原始数据的关系
biplot(fac1$scores,fac1$loadings)

运行结果：

从该图来看，可以更好的反应因子载荷图的效果，清晰的看出每一个学生的因子得分情况。

参考文献：

何晓群，多元统计分析（第五版），中国人民大学出版社

薛毅，统计建模与Rfacfa'c

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