Delta并联机构静力学分析
在前一篇博客中，已经对Delta并联机构的运动学做了分析，所采用的方法为空间向量法。即在固定平台建立世界坐标系，在浮动平台建立运动坐标系后，用坐标向量的形式表达每一个关节点在世界坐标系中的坐标。然后由被动杆长度即可建立等式方程。用数值法中的牛顿迭代法构建牛顿迭代方程求出正向运动学解，解三元二次非线性方程，求出逆向运动学解。本篇博客将分析Delta并联机构的静力学问题。
一、问题背景
在用Delta并联机构作遥操作中的主手以及虚拟现实力反馈操作中的力觉交互工具时，从手操作端或虚拟现实环境中的反馈力通过Delta并联机构由用户感知。而在操作过程中，由于运动速度很缓慢，操作过程可以看作是由一系列的准静态组成。因此，需要对Delta机构进行静力学分析，在已知末端输出力的情况下，逆向求解各电机分别所需要输出的力矩。由此合同从手操作端或虚拟现实环境中给出的反馈力。
二、问题分析
Delta机构作为一种典型的并联机构，其末端输出力与各个电机的输出力矩有关。在其运动空间的不同位置，在相同的输出力下，各电机的输出力矩又各不相同。作为一个耦合的机构，求解有一定的麻烦。在学术界，对于Delta并联机构静力学的分析，有许多不同的方法，像虚功原理等。经过验证，采用最原始的受力分析方法（牛顿-欧拉法）最为靠谱。本文将采用牛顿-欧拉法对Delta机构的各构件进行受力分析，由末端输出力得出各电机所需输出力矩。
本文先假设是无重力状态，即不考虑各构件的重力，或者说各构件重力已进行了补偿(之后我会再写一篇文章分析Delta机构的重力补偿)。先从浮动平台开始，浮动平台受到三根从动杆的力以及用户施加给它的力，由于从动杆在不考虑重力的情况下是二力杆，杆上的力一定沿站杆的方向。假设从动杆给浮动平台的力的正方向为沿杆从法平台指向主动杆，即BC方向，由于BC向量可以用坐标表示出来，因此也可以知道各从动杆在X，Y，Z方向给浮动平台的力分量。假设用户给浮动平台施加的力F=（Fx，Fy，Fz）。则可分别在X，Y，Z三个方向对浮动平台建立受力平衡方程。求解即可得到三根被动杆的力大小以及力的方向。正代表该被动杆上的力沿BC方向，负代表该被动杆上的力沿CB方向。
接着对主动杆进行受力分析。由于被动杆是二力杆，因此其受力分析很简单，也无需要建立受力平衡方程即可得知其对于主动杆的力大小以及方向。主动杆还受到电机输出力矩M的作用。在这两者的作用下，主动杆保持平衡(力矩平衡方程)。因此，可以对三根主动杆分别建立受力平衡方程。由于被动杆施加给主动杆的力并不一定在构成主动杆的圆盘内，因此被动杆施加的力可以分解成在圆盘内的力和垂直于圆盘的力，而垂直于圆盘的力与主动杆的旋转轴平行，对于主动杆的旋转不起作用。因此分解后只需要考虑在圆盘上的力。此处力的分解有一个人技巧，可先求出圆盘的单位法向量（单位法向量的可通过主动杆向量与旋转轴到世界坐标系原点的向量的叉乘再单位化得到），被动杆施加给主动杆的力垂直于圆盘的分量可通过与被动杆的力与该单位法向量求点积得到。而在圆盘内的分量则可以通过合力减去垂直分力得到。圆盘的分力对于旋转轴会产生力矩，其力臂即为主动杆的向量。通过圆盘内的分力与该力臂向量的叉乘即可得到被动杆施加在主动杆上的力在旋转轴处产生的力矩，由与电机施加的力矩相加等于0即得到了力矩平衡方程。求解该力矩平衡方向，即可得到三个电机分别施加在对应旋转轴上的力矩大小。
求出的力矩是有正负的，因为力矩也是一个矢量，因此正负代表其方向。而正负分别指向哪个方向与之前对于主动杆旋转角度定义有关，如果力矩有使主动杆旋转角度减小的趋势，则求出的力矩为负，如果力矩有使主动杆旋转角度增大的趋势，则求出的力矩为正。
三、问题解决
通过对Delta并联机构各构件进行受力分析(选择一条链)，即可在给定末端力的情况下，求出三个电机分别要输出的力矩大小以及其方向，由电机输出入电流与输出转矩的关系，即可求得电机需要输入的电流大小，从而完成控制。通过ADMAS与Matlab的仿真分析得出，该算法求的出力矩与ADAMS仿真测量出的力矩值完全一致。
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