狄利克雷卷积_算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积
这篇笔记完全是数学内容，但它是之后一些算法的基础。
所谓狄利克雷卷积，是定义在数论函数(
的函数)间的一种二元运算，可这样定义：
也常常等价地写作：
为了之后讨论方便，先定义一些常用的数论函数的符号：单位函数
幂函数
. 当
时为恒等函数
，当
时为常数函数
除数函数
，当
时为因数和函数
，当
时为因数个数函数
值得注意的是，这些函数都是所谓的积性函数，即满足
，且若
互质，则有
. 其中前两者还是完全积性函数，它们不需要满足
互质的条件也符合等式。
积性函数之间的狄利克雷卷积有一个重要的性质：若
是积性函数，则
也是积性函数
首先
，然后设
互质，则有：
，
，
.
注意到
由于
互质，
的因数都可以唯一地表示为
的某个因数与
的某个因数的乘积，即上式可表示为
。这便证明了
.
根据狄利克雷卷积的定义，我们可以立刻得到一些数论函数之间的关系。
除数函数与幂函数
根据定义，我们有：
所以：
，即
欧拉函数与恒等函数
由于：
当
时(
为质数)，有：
故
.
现在令
为任意正整数，它可以被分解为
，由于
是积性函数，必然有
. 所以
，即：
我们来证明狄利克雷卷积的一些性质：
交换律
结合律
关于第四个等号为什么成立，其实把连加式展开就很清晰了：
其中：
和
满足
，而
又满足
，所以
对每一项都成立。这也穷尽了将
分解成三个正整数的积的所有可能。
对函数加法的分配律
单位元
(注意仅在
时
不等于
)
所以单位函数
是狄利克雷卷积的单位元。
逆元
假设
，则称
是
的狄利克雷逆元(Dirichlet inverse，或译狄利克雷逆)，记作
，显然有：
.
故
，这说明
存在迪利克雷逆元的必要条件是
.
我们又有：
故
. 类似地，还可以求出
、
等，合理猜测下面这个函数即为
：
分类讨论：
当
时，
当
时：
所以
就是
，这是一个递归的定义。
实际上，从抽象代数角度看，取狄利克雷卷积为乘法，普通函数加法为加法，则数论函数集构成一个整环。注意它不构成一个域，因为并不是每个非零元素(这里的零元是
)都有逆元，而必须要满足
。
需要指出，积性函数必然存在逆元(因为
)，且逆元仍是积性函数。
根据逆元的定义
， 有
，则对任意正整数
有
。
现在设
互质，且对
(不同时取等号)，已证明
是积性的，则：
这可以分为前后两部分：
对于前半部分：
对于后半部分：
于是：
.
即
是积性函数。
最后来看一个特殊的函数：常数函数
的逆元，我们将其称为莫比乌斯函数，定义为：
其中的
均为质数，也就是说，仅当
存在一个因数是完全平方数时
. 用狄拉克雷逆元的定义不难对此进行验证，注意
是积性函数，且容易证明
和
.
莫比乌斯函数在数论中有重要的作用，例如莫比乌斯反演等。下篇笔记将会讲解。Pecco：算法学习笔记(目录)zhuanlan.zhihu.com
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