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第一课：行列式的计算

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各位学渣，你们好，接下来我大约2小时的时间带领大家从零基础到完全掌握这门《线性代数》，我们直接开始第一课，第一课只教大家一种知识：行列式的计算。

所谓行列式，就是长这个模样的东西，它有相同的行数与相同的列数，外面加两条竖线，

2行2列→二阶行列式

3行3列→三阶行列式

4行4列→四阶行列式

这些行列式都能经过一系列计算，最后得出一个数字。本课我们要学的就是，如何计算它们，最后得到一个数字。

我们先说一下2阶行列式。

这个计算最简单，方法就是这条对角线的数字的乘积，减去另外一条对角线数字的乘积，算出的结果就是这个行列式的值。?

好，这是2阶行列式。而对于三阶、四阶、五阶……多阶行列式，它的计算要稍微复杂那么一点。

它需要通过我接下来要讲的比较简单的方法，变成这样子：使对角线下面的这些元素都变成0。

接着，对角线上元素的乘积就是结果。?

这是3阶行列式。

对于4阶行列式，也是同样的方法，变形，使对角线下面的这些元素都变成0。接着，对角线上元素的乘积就是这个行列式的结果。

好，接下来教一下大家，怎么把行列式变成这样？方法很简单，利用这条性质：

举例：

在第2行后边减去第1行的2倍，然后算出这3个式子的结果，保留原来的第1行与第3行，得到这么一个行列式。

这个行列式的值与这个行列式的值是一样的?

再针对这个行列式，第3行的数减去第1行的4倍，保留第1行与第3行，计算三个式子的结果，可以得到这样一个行列式。

这个行列式与这个行列式的值也是一样的?。

在这个行列式里，用第3行，减去第2行的3倍，保留上边两行不变，算出下边这一行的结果，我们可以得出这样一个行列式。

这个行列式与这个行列式的值也是一样的?

好，现在，对角线下边的元素全是0啦，那这一题答案就出来了：-1。

好~步骤都给大家展示完了，结果也算出来了。从头到尾呢，也只用到了这一条性质?

所以，这类题目，只要知道先解什么，后解什么，再加减法及格，是非常好做的。

接着教一下大家，先解什么，后解什么的思路。

我们先看一下这个结果，目标是使第1行的第1个数字不是0，第2行的第1个数字是0，第1行头两个数字是0。

以此类推，所以，我们首先研究一下第2行，研究一下怎么样使第一个数字是0?

我们回过头看这个行列式，第2行第1个数字是2，第1行第1个数字是1，我们用第2行减去第1行的2倍，就能使算出来的结果是0。

好，现在这一位是0了?，即第2行首位的这个0的目标，我们已经完成啦。

接着我们就要完成这两个0的目标了?。

我们先看一下这个0?

在第一步的结果里，这一位现在是4?

所以我们用第3行，减去第一行的4倍，经过计算，可以使这一位变成0?

所以我们在第2步干的是这个?。

最后，我们就剩下最后一个0的目标了?

我们看一下上一步的结果。在前面啊，我们都是通过减去第1行来实现目标的，

但是在这里，我们就不能再减第1行了，

因为在第3行里，现在第1位是0，而第1行的第1位是1， 0不管加减多少倍的1，它最后的结果都不再是0了。不再是0，就不能满足这个要求?。

所以在这里，我们不能减第1行，但是第2行不一样，第2行的首位也是0，不管加减多少倍的0，它最后结果还是0，都能满足这个目标。

所以在这里，我们在第3行的基础上，减去第2行的3倍，经过一系列计算，就可以实现这个0的目标?。

所以我们回过头看一下完整的步骤，第1行就没动过?，

第2行减去第1行能使首位变成0，第3行减第1行也能使首位变成0，所以第1行的作用是使后面这些行的首位变成0。

当第1行之后的行的首位都变成0了，第1行的作用就实现完了?。

接着，就要看第2行了?，

这时，第2行的作用就是使后面这些行的第2位都变成0，

以此类推，这是一个三阶行列式，如果是四阶、五阶、六阶……甚至很多很多阶，

接着，第3行的作用就是使第3位都变成0，第4行的作用就是使第4位都变成0，以此类推，这就是这类题解题时的思路。

这一题是3阶的，再给大家举一个4阶的例子。

步骤也完全一样。我们减去第1行，第1行，第1行，可以使后面这3行的首位都变成0?

接着，再减第2行，减第2行，可以使后面的第2位都变成0?。

再减第3行，也使第3位变成0，进而可以求出本题答案?。

大家仔细看一下这个步骤?，都非常简单。

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好，对于这类题目，基本上靠一个性质就能把所有题做完?。

但是在考试时，有时我们再多记几条性质，可以简化我们的做题步骤。

要大家再额外记住的性质总共就2条。

第1条：某行乘k，等于k乘此行列式。

比如，已知这个行列式的结果是-1，让我们求下边这个行列式?，

我们仔细比较这2个行列式，可以发现，二者的区别就是，这一行是这一行的2倍。

那么根据这条性质，这个行列式就等于2×这个行列式。

再比如说，已知这个，求下边这个行列式?。

比较这2个行列式，可以发现，二者的区别就是?

所以根据这条性质，下边这个行列式就=?

所以我们做题时，如果发现某一行能够÷出来一个数，那我们就把它÷出来。

÷出来以后，就更简便。

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接下来说第3条性质?

互换两行(列)，行列式变号。

最后，再规范一下做题步骤。行都用r表示，列都用c表示?。

考试的时候，时间有限，我们一步一步地写有点麻烦，我们可以把某一步的步骤写到前一个等号的下面。

接着省略掉中间的步骤，把结果直接拿到等号的后面?。

只要步骤是正确的，结果也是正确的，(省略着写)考试时就没问题。但是步骤一定要写，并且写对啊。