离散傅里叶变换的核心公式

2024-04-08 07:03:59

连续傅里叶变换

X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtX(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2 \pi ft}\,dt X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdt

离散傅里叶变换

指数形式：
X(m)=∑n=0N−1x(n)e−j2πnm/NX(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j2 \pi nm / N}} X(m)=n=0∑N−1x(n)e−j2πnm/N

直角坐标形式：
X(m)=∑n=0N−1x(n)[cos(2πnm/N)−jsin(2πnm/N)]X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)[cos(2 \pi nm /N) - jsin(2 \pi nm /N)]} X(m)=n=0∑N−1x(n)[cos(2πnm/N)−jsin(2πnm/N)]

X(m)=Xreal(m)+jXimag(m)X(m) = X_{real}(m) + jX_{imag}(m) X(m)=Xreal(m)+jXimag(m)

X(m)的分析频率：
fanalysis(m)=mfsNf_{analysis}(m) = \frac {mf_s}{N} fanalysis(m)=Nmfs

X(m)的幅度：
Xmag(m)=∣X(m)∣=Xreal(m)2+Ximag(m)2X_{mag}(m)=|X(m)|= \sqrt {X_{real}(m)^2 + X_{imag}(m)^2} Xmag(m)=∣X(m)∣=Xreal(m)2+Ximag(m)2

X(m)的相位角：
Xϕ(m)=tan−1(Ximag(m)Xreal(m))X_{\phi}(m) = tan^{-1}(\frac{X_{imag}(m)}{X_{real}(m)}) Xϕ(m)=tan−1(Xreal(m)Ximag(m))

X(m)实部虚部三角关系：

欧拉公式

指数形式变换为直角坐标形式，借助于欧拉公式：

e−jϕ=cos(ϕ)−jsin(ϕ)e^{-j \phi } = cos( \phi ) - jsin( \phi ) e−jϕ=cos(ϕ)−jsin(ϕ)

欧拉公式：
ejϕ=cos(ϕ)+jsin(ϕ)e^{j \phi } = cos( \phi ) + jsin( \phi ) ejϕ=cos(ϕ)+jsin(ϕ)

欧拉公式：
eπj+1=0e^{ \pi j} + 1 = 0 eπj+1=0

自然常数

e=lim⁡x−>∞(1+1x)x≈2.71828e = \lim_{x-> \infty }({1 + \frac{1}{x}})^x ≈ 2.71828 e=x−>∞lim(1+x1)x≈2.71828

圆周率

π≈3.14159\pi ≈ 3.14159 π≈3.14159

三角函数

函数	英文名	缩写	定义	语言描述
正弦函数	sine	sin	a/c	∠A的对边比斜边
余弦函数	cosine	cos	b/c	∠A的邻边比斜边
正切函数	tangent	tan	a/b	∠A的对边比邻边
反正切函数	arc tangent	atan、tan⁻¹		正切函数y=tan(x)在开区间（x∈(-π/2,π/2)）的反函数

参考文献

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