幂函数导数公式的推导

1 幂函数的定义域

【引理】设幂函数f(x)=xα(α∈R)f(x)=x^\alpha(\alpha\in R)f(x)=xα(α∈R) 的定义域为DαD_\alphaDα，则
（1）当 α=0\alpha = 0α=0，Dα={x∣x≠0}D_\alpha=\{x|x\neq 0\}Dα={x∣x=0}，且此时x0=1x^0=1x0=1；
（2）当 α\alphaα 是非零有理数时，可设 α=pq\alpha=\frac{p}{q}α=qp (∣p∣,q∈N∗|p|,q\in N^*∣p∣,q∈N∗，ppp与qqq互质)，有：（以下约定a1=a,a∈R\sqrt[1]{a}=a,a\in R1a=a,a∈R）

【注】q=1q=1q=1时表示非零整数的情况
（3）当 α\alphaα 是正无理数时，Dα=[0,+∞D_\alpha=[0,+\inftyDα=[0,+∞）；当α\alphaα是负无理数时，Dα=(0,+∞)D_\alpha=(0,+\infty)Dα=(0,+∞).

2 幂函数导数公式的推导

当 α∈N\alpha \in Nα∈N 时：
（1）α=0\alpha = 0α=0
当α=0\alpha = 0α=0 时，Dα={x∣x≠0}D_\alpha = \{x| x\neq 0\}Dα={x∣x=0}，f(x)=1f(x)=1f(x)=1，f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0.
（2）α∈N∗\alpha\in N^*α∈N∗
(i) α=1\alpha=1α=1：f′(x)=x′=1(x∈R)f'(x)=x'=1 \ \ (x\in R)f′(x)=x′=1 (x∈R)；
(ii) α≥2\alpha \geq 2α≥2：根据恒等式 an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗a^{n+1}+b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗（可用多项式乘法法则证明该等式）,可得：
f′(x)=lim⁡Δx→0(x+Δx)α−xαΔx=lim⁡Δx→0[(x+Δx)α−1+(x+Δx)α−2x+(x+Δx)α−3x2+...+(x+Δx)xα−2+xα−1]=αxα−1（x∈R)\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha - x^\alpha}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}[(x+\Delta x)^{\alpha -1}+(x+\Delta x)^{\alpha -2}x+(x+\Delta x)^{\alpha -3}x^2+...+(x+\Delta x)x^{\alpha-2}+x^{\alpha -1}]\\ &= \alpha x^{\alpha -1}（x\in R) \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)α−xα=Δx→0lim[(x+Δx)α−1+(x+Δx)α−2x+(x+Δx)α−3x2+...+(x+Δx)xα−2+xα−1]=αxα−1（x∈R)
当 −α∈N∗-\alpha \in N^*−α∈N∗时：
此时Dα={x∣x≠0}D_\alpha=\{ x|x\neq 0\}Dα={x∣x=0}，
根据之前的结论，当α∈N∗\alpha\in N^*α∈N∗时，有(xα)′=αxα−1(x∈R)(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}(x\in R)(xα)′=αxα−1(x∈R)，
现在−α∈N∗-\alpha \in N^*−α∈N∗，有f′(x)=(1x−α)′(x≠0)f'(x)=(\frac{1}{x^{-\alpha}})'(x\neq 0)f′(x)=(x−α1)′(x=0)，
根据复合函数的求导法则，
f′(x)=−1(x−α)2⋅(x−α)′=−1(x−α)2⋅(−αx−α−1)=αxα−1(x≠0)f'(x)=-\frac{1}{(x^{-\alpha})^2 }\cdot(x^{-\alpha})'=-\frac{1}{(x^{-\alpha})^2 }\cdot(-\alpha x^{-\alpha-1})=\alpha x^{\alpha -1}(x\neq 0) f′(x)=−(x−α)21⋅(x−α)′=−(x−α)21⋅(−αx−α−1)=αxα−1(x=0)
α∈Z\alpha\in Zα∈Z 的推导完了。
当 α∈Q\alpha \in Qα∈Q 且 α∉Z\alpha \notin Zα∈/Z时：
（1）先求得 α=1n(n−1∈N∗)\alpha = \frac{1}{n}(n-1\in N^*)α=n1(n−1∈N∗) 时结论成立：
(i)当n=2k(k∈N∗)n=2k(k\in N^*)n=2k(k∈N∗)时，Dα=[0,+∞)D_\alpha = [0,+\infty)Dα=[0,+∞).
当 α<1\alpha < 1α<1 时，f′(0+)=lim⁡Δx→0+(0+Δx)α−0αΔx=lim⁡Δx→0+1(Δx)1−α=+∞f'(0^+)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{(0+\Delta x)^\alpha - 0^\alpha}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{1}{(\Delta x)^{1-\alpha}}=+\inftyf′(0+)=limΔx→0+Δx(0+Δx)α−0α=limΔx→0+(Δx)1−α1=+∞，所以f′(0)f'(0)f′(0)不存在；
当 x>0x>0x>0 时，根据恒等式 an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗a^{n+1}+b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗（可用多项式乘法法则证明该等式）
f′(x)=lim⁡Δx→0x+Δx2k−x2kΔx=lim⁡Δx→01(x+Δx2k)2k−1+(x+Δx2k)2k−2(x2k)+...+(x+Δx2k)(x2k)2k−2+(x2k)2k−1=12k(x2k)2k−1=αxα−1（x>0)\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[2k]{x+\Delta x}-\sqrt[2k]{x}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt[2k]{x+\Delta x})^{2k-1}+(\sqrt[2k]{x+\Delta x})^{2k-2}(\sqrt[2k]{x})+...+(\sqrt[2k]{x+\Delta x})(\sqrt[2k]{x})^{2k-2}+(\sqrt[2k]{x})^{2k-1}}\\ &=\frac{1}{2k(\sqrt[2k]{x})^{2k-1}} = \alpha x^{\alpha -1}（x > 0) \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔx2kx+Δx−2kx=Δx→0lim(2kx+Δx)2k−1+(2kx+Δx)2k−2(2kx)+...+(2kx+Δx)(2kx)2k−2+(2kx)2k−11=2k(2kx)2k−11=αxα−1（x>0)
(ii)当n=2k+1(k∈N∗)n=2k+1(k\in N^*)n=2k+1(k∈N∗)时，Dα=RD_\alpha =RDα=R.
由上一步的结论，当α<1\alpha<1α<1时，f′(0)f'(0)f′(0)不存在；当x≠0x\neq 0x=0时，由an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗a^{n+1}+b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*an+1+bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+...+abn−1+bn),n∈N∗可得
f′(x)=lim⁡Δx→0x+Δx2k+1−x2k+1Δx=lim⁡Δx→01(x+Δx2k+1)2k+(x+Δx2k+1)2k−1(x2k+1)+...+(x+Δx2k+1)(x2k)2k−1+(x2k+1)2k=1(2k+1)(x2k+1)2k=αxα−1（x≠0)\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[2k+1]{x+\Delta x}-\sqrt[2k+1]{x}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt[2k+1]{x+\Delta x})^{2k}+(\sqrt[2k+1]{x+\Delta x})^{2k-1}(\sqrt[2k+1]{x})+...+(\sqrt[2k+1]{x+\Delta x})(\sqrt[2k]{x})^{2k-1}+(\sqrt[2k+1]{x})^{2k}}\\ &=\frac{1}{(2k+1)(\sqrt[2k+1]{x})^{2k}} = \alpha x^{\alpha -1}（x\neq 0) \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔx2k+1x+Δx−2k+1x=Δx→0lim(2k+1x+Δx)2k+(2k+1x+Δx)2k−1(2k+1x)+...+(2k+1x+Δx)(2kx)2k−1+(2k+1x)2k1=(2k+1)(2k+1x)2k1=αxα−1（x=0)

（2）设 α=pq(∣p∣,q−1∈N∗\alpha =\frac{p}{q} \ (|p|,q-1\in N^*α=qp (∣p∣,q−1∈N∗，p 与 q 互质）（这里与之前【引理】的 q∈N∗q\in N^*q∈N∗不一样是因为我们已将α∈Z\alpha\in Zα∈Z的情况讨论完了）

(i) 当 qqq 是正偶数且 ppp 是正奇数且 p>qp>qp>q 时，Dα=Dpq=[0,+∞)D_\alpha=D_{\frac{p}{q}}=[0,+\infty)Dα=Dqp=[0,+∞). 当 α>1\alpha>1α>1 时，f′(0+)=lim⁡Δx→0+(0+Δx)α−0αΔx=lim⁡Δx→0+Δxα−1=0f'(0^+)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{(0+\Delta x)^\alpha-0^\alpha}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+\Delta x^{\alpha -1}}=0f′(0+)=limΔx→0+Δx(0+Δx)α−0α=limΔx→0+Δxα−1=0；α=pq>1\alpha = \frac{p}{q}>1α=qp>1，所以 f′(0+)=0f'(0^+)=0f′(0+)=0. 当x>0x>0x>0,由开始的结论α∈Z\alpha\in Zα∈Z和α=1n(n−1∈N∗)\alpha=\frac{1}{n}(n-1\in N^*)α=n1(n−1∈N∗)时结论成立，在根据复合函数的链式求导法则，就有：
f′(x)=[(x1q)p]′=p[(x1q)]p−1⋅1qx1q−1=pqxpq−1=αxα−1(x>0).f'(x)=[(x^{\frac{1}{q}})^p]'=p[(x^{\frac{1}{q}})]^{p-1}\cdot \frac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0). f′(x)=[(xq1)p]′=p[(xq1)]p−1⋅q1xq1−1=qpxqp−1=αxα−1(x>0).
可得f′(x)=αxα−1(x≥0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x\geq 0)f′(x)=αxα−1(x≥0)

(ii) 当 qqq 是正偶数且 ppp 是正奇数且 p<qp<qp<q 时，Dα=Dpq=[0,+∞)D_\alpha = D_\frac{p}{q} = [0,+\infty)Dα=Dqp=[0,+∞). 当 α<1\alpha<1α<1 时，f′(0+)f'(0^+)f′(0+) 不存在；α=pq<1\alpha = \frac{p}{q}<1α=qp<1，所以 f′(0+)f'(0^+)f′(0+)不存在；当x>0x>0x>0, 由开始的结论 α∈Z\alpha\in Zα∈Z和α=1n(n−1∈N∗)\alpha=\frac{1}{n}(n-1\in N^*)α=n1(n−1∈N∗)时结论成立，在根据复合函数的链式求导法则，就有：
f′(x)=[(x1q)p]′=p[(x1q)]p−1⋅1qx1q−1=pqxpq−1=αxα−1(x>0).f'(x)=[(x^{\frac{1}{q}})^p]'=p[(x^{\frac{1}{q}})]^{p-1}\cdot \frac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0). f′(x)=[(xq1)p]′=p[(xq1)]p−1⋅q1xq1−1=qpxqp−1=αxα−1(x>0).
可得f′(x)=αxα−1(x>0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x>0)f′(x)=αxα−1(x>0).

(iii) 当 qqq 是正偶数且ppp是负奇数时，Dα=Dpq=(0,+∞)D_\alpha = D_{\frac{p}{q}}=(0,+\infty)Dα=Dqp=(0,+∞). 由开始的结论 ppp是正偶数,qqq是正奇数时结论成立，再根据复合函数的链式求导法则，就有：
f′(x)=[(x−pq)−1]′=−1[(x−pq)]2⋅(−pq)x−pq−1=pqxpq−1=αxα−1(x>0)f'(x)=[(x^{-\frac{p}{q}})^{-1}]'=-\frac{1}{[(x^{-\frac{p}{q}})]^2}\cdot (-\frac{p}{q})x^{-\frac{p}{q}-1}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0) f′(x)=[(x−qp)−1]′=−[(x−qp)]21⋅(−qp)x−qp−1=qpxqp−1=αxα−1(x>0)
可得f′(x)=αxα−1(x>0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x>0)f′(x)=αxα−1(x>0).

(iv) 当 qqq 是奇数且 p>q≥3p>q\geq 3p>q≥3 时，Dα=Dpq=RD_\alpha = D_{\frac{p}{q}}= RDα=Dqp=R. 同之前的结论 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0；当x≠0x\neq 0x=0时，由 1 和 (1)可得
f′(x)={[(x1q)]p}′=p[(x1q)]p−1⋅1qx1q−1=pqxpq−1=αxα−1(x≠0)f'(x) = \{[(x^{\frac{1}{q}})]^p\}'=p[(x^{\frac{1}{q}})]^{p-1}\cdot \frac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=\alpha x^{\alpha -1}(x\neq 0) f′(x)={[(xq1)]p}′=p[(xq1)]p−1⋅q1xq1−1=qpxqp−1=αxα−1(x=0)
可得，f′(x)=αxα−1(x∈R)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x\in R)f′(x)=αxα−1(x∈R)

(v) 当qqq是奇数且 p∈N∗,p<q,q≥3p\in N^*, p<q, q\geq 3p∈N∗,p<q,q≥3 时，Dpq=RD_{\frac{p}{q}}=RDqp=R.由之前的结论f′(0)f'(0)f′(0)不存在；当x≠0x\neq 0x=0时，和(v)一样的推导得f′(x)=αxα−1(x≠0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x \neq 0)f′(x)=αxα−1(x=0)

可得f′(x)=αxα−1(x≠0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x\neq 0 )f′(x)=αxα−1(x=0).

(vi) 当qqq是奇数且 q≥3,−p∈N∗q\geq 3, -p\in N^*q≥3,−p∈N∗时，Dα=Dpq={x∣x≠0}D_{\alpha}=D_{\frac{p}{q}}=\{x|x\neq 0\}Dα=Dqp={x∣x=0}.根据(iv)和(v)，有：
f′(x)=[(x−pq)−1]′=−1[(x−pq)]2⋅(−pq)x−pq−1=pqxpq−1=αxα−1(x≠0)f'(x)=[(x^{-\frac{p}{q}})^{-1}]'=-\frac{1}{[(x^{-\frac{p}{q}})]^2}\cdot (-\frac{p}{q})x^{-\frac{p}{q}-1}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=\alpha x^{\alpha - 1}(x\neq 0) f′(x)=[(x−qp)−1]′=−[(x−qp)]21⋅(−qp)x−qp−1=qpxqp−1=αxα−1(x=0)
可得f′(x)=αxα−1(x≠0)f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}(x\neq 0)f′(x)=αxα−1(x=0).

α∈Q\alpha \in Qα∈Q到这里就全部推导完了.

当 α\alphaα 是无理数时：

（1）当 α\alphaα 是正无理数时，Dα=[0,+∞)D_\alpha = [0,+\infty)Dα=[0,+∞).
（i）当α\alphaα是大于1的无理数时，根据开头的结论f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0；当x>0x>0x>0时，由导数公式(logax)′=1xlna(log_ax)'=\frac{1}{xlna}(logax)′=xlna1，(ax)′=axlna(a^x)'=a^xlna(ax)′=axlna(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅αx=αxα−1(x>0).f'(x)=(x^\alpha)'=(e^{\alpha lnx})'=e^{\alpha lnx}\cdot \frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0). f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅xα=αxα−1(x>0).
可得，f′(x)=αxα−1(x≥0)f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}(x\geq 0)f′(x)=αxα−1(x≥0).
(ii) 当 α\alphaα是小于1的无理数时，根据开头的结论f′(0)f'(0)f′(0)不存在;当x>0x>0x>0时，由导数公式(logax)′=1xlna(log_ax)'=\frac{1}{xlna}(logax)′=xlna1，(ax)′=axlna(a^x)'=a^xlna(ax)′=axlna(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅αx=αxα−1(x>0).f'(x)=(x^\alpha)'=(e^{\alpha lnx})'=e^{\alpha lnx}\cdot \frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0). f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅xα=αxα−1(x>0).
可得，f′(x)=αxα−1(x>0)f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}(x > 0)f′(x)=αxα−1(x>0).

（2）当α\alphaα是负无理数时，Dα=(0,+∞)D_\alpha =(0,+\infty)Dα=(0,+∞).

由导数公式(logax)′=1xlna(log_ax)'=\frac{1}{xlna}(logax)′=xlna1，(ax)′=axlna(a^x)'=a^xlna(ax)′=axlna(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅αx=αxα−1(x>0).f'(x)=(x^\alpha)'=(e^{\alpha lnx})'=e^{\alpha lnx}\cdot \frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha -1}(x>0). f′(x)=(xα)′=(eαlnx)′=eαlnx⋅xα=αxα−1(x>0).
可得，f′(x)=αxα−1(x>0)f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}(x > 0)f′(x)=αxα−1(x>0).

α∈R\alpha \in Rα∈R到这里就讨论完了。

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