Boost电路小信号建模分析

建模概述

当Boost变换器控制系统的输入电压、负载都维持恒定，且系统无外界干扰时，输入电压Vg(t)、输出电压Vc(t)和控制量d(t) (注意此d(t)不是占空比，可以理解为调制波)皆为恒定值，可以用Vg、Vc和D表示。
但是实际上，Vg(t)常常无法达到理想的直流，其中包含整流后的谐波等交流分量；在负反馈回路的作用下，驱动脉冲的控制信号d(t)也不是一个恒定的值，假设Vg(t)和d(t)中分别包含交流分量Vg^\widehat{Vg}Vg (t)和d^\widehat{d}d (t)，即
Vg(t)=Vg+Vg^\widehat{Vg}Vg (t)，其中Vg^\widehat{Vg}Vg (t)=V_gmcosw_gt

d(t)=D+d^\widehat{d}d (t)，其中d^\widehat{d}d (t)=d_mcosw_gt
其中交流分量的频率一般远小于开关频率，交流分量的幅值也远小于直流分量的幅值。因此也称之为交流小信号或低频小信号扰动。
此时输出电压包含三部分，①直流分量②开关纹波③与输入交流分量相同频率的低频交流分量

一般变换器低通滤波器的截止频率f₀远小于开关频率fs，所以输出电压中主要的频率分量为低频扰动分量f_g,或称小信号分量。

建模过程

首先小信号建模有三个基本条件
①低频假设：交流小信号频率远小于开关频率
②小纹波假设：变换器滤波器的转折频率远小于开关频率，因此可以滤除绝大部分电路状态变量所含的高频开关纹波分量。
③交流小信号分量的幅值远小于直流分量
然后开始建模

一、求取平均变量(必须满足条件1和2)
为了消除变换器中各变量的开关纹波分量，通常采取在一个开关周期内求取平均值的方法。
满足条件1时可以保证在求取平均变量时不会对交流小信号携带信息产生太大的影响；满足条件2可以保证高频纹波已经被大大衰减，求取平均变量后，状态变量的平均值等于瞬时值
即定义变量x(t)=<x(t)>_Ts=1/Ts·∫x(τ)dτ，其中积分区域为(t，t+Ts)
二、分段列写微分方程
以电感电流i_L和电容电压U_c为中间变量列写微分方程。
①0<t<dTs
Ldi_L(t)/dt=V_g(t)
CdV_c(t)/dt=-V_c(t)/R
②dTs<t<Ts
V_g(t)-V_c(t)=Ldi_L(t)/dt
CdV_c(t)/dt+V_c(t)/R=i_L(t)
根据开关周期内的两个阶段求取平均变量方程
Ld<i_L>_Ts/dt=<V_g(t)>_Ts-d’(t)<Vc(t)>_Ts
Cd<V_c(t)>_Ts/dt=d’(t)<i_L(t)>_Ts-<V_c(t)>_Ts/R
（其中d‘(t)=1-d(t）)
三、分离扰动
平均变量方程是消除了开关纹波分量后的变量方程，其中包含有直流分量和交流小信号分量，现在我们要分开这两种分量。
<i_L>_Ts=I+i^\widehat{i}i(t)
<V_g(t)>_Ts=V_g+Vg^\widehat{Vg}Vg(t)
<V_c(t)>_Ts=V_c+Vc^\widehat{Vc}Vc(t)
d(t）=D+d^\widehat{d}d(t)
d’(t)=D’-d^\widehat{d}d(t)
代入平均变量方程可得

其中式1-45和1-48就为交流小信号状态方程
四、线性化处理
将式1-45和1-48末尾的d^\widehat{d}d(t)v^\widehat{v}v(t)和d^\widehat{d}d(t)i^\widehat{i}i(t)忽略，就可得到线性方程。