前情回顾

p→qp \rightarrow qp→q 这叫做单条件蕴含，它的等价式为 ¬p∨q¬p \vee q¬p∨q (这是较小的层面，是 clause 层面的关系)

蕴含式 ⊨\models⊨ 或 ⇒\Rightarrow⇒

如果现在有两个合式公式（这是较大的层面，两个合式公式之间的关系）

A:(a1∨a2)∧(a3∨a4)...(an∨an+1)A:(a_1\vee a_2) \wedge(a_3 \vee a_4) ...(a_n\vee a_{n+1})A:(a1∨a2)∧(a3∨a4)...(an∨an+1)
B:(b1∨b2)∧(b3∨b4)...(bn∨bn+1)B:(b_1\vee b_2) \wedge(b_3 \vee b_4) ...(b_n\vee b_{n+1})B:(b1∨b2)∧(b3∨b4)...(bn∨bn+1)
如果能证明 A→BA \rightarrow BA→B 是个永真式，那么我们可以说 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B （A 蕴含 B），或者表示为 A⊨BA \models BA⊨B，这个式子 A⊨BA \models BA⊨B 成为蕴含式，也叫做 永真的条件式；此时，AAA 称为蕴含式的前提（前件），BBB 称为蕴含式的结论（后件）

蕴含式和等价式的关系（≡\equiv≡ 或 ⇔\Leftrightarrow⇔）

A≡BA\equiv BA≡B 相当于 A⊨BA \models BA⊨B 且 B⊨AB \models AB⊨A

注意，这里用的是 “且”，而不是 ∧\wedge∧ 因为这是公式之间的关系，而不是子句之间的关系，不能用逻辑联结词。
等价式和蕴含式，都不是公式，因为他们表示的是不同公式之间的关系！！！！

证明蕴含式的方法

要证明 A⊨BA⊨BA⊨B 就证明 A→BA\rightarrow BA→B 是重言式（tautology）；可以通过真值表
逻辑推演：证明蕴含关系要用逻辑推演。

逻辑推演的方法

前件真推后件真
后件假推前件假

Example

逻辑推演使用的 9 个基本蕴含式

证明蕴含关系的基本方法：真值表法、逻辑推演法。
逻辑推演法在上面我们也做了简单的展示；除了直接分析公式的真假之外，我们引入了 9 个基本的蕴含式；可以帮助进行逻辑推演**（就像在命题逻辑的等值演算一样，可以通过公式的替换来简化证明过程）**

基本蕴含式	公式	解释
附加律	A⊨(A∨B)A \models (A \vee B)A⊨(A∨B)	AAA 是真，A∨BA \vee BA∨B 一定为真，满足前真推后真
化简律	(A∧B)⊨A(A\wedge B) \models A(A∧B)⊨A	AAA 是假，A∧BA \wedge BA∧B 一定为假，满足后假推前假
假言推理	(A→B)∧A⊨B(A \rightarrow B) \wedge A \models B(A→B)∧A⊨B	(A→B)(A \rightarrow B)(A→B) 是真的，AAA 也是真的，所以 BBB 必须是真的
拒取式	(A→B)∧¬B⊨¬A(A \rightarrow B) \wedge ¬ B \models ¬ A(A→B)∧¬B⊨¬A	(A→B)(A \rightarrow B)(A→B) 是真的，¬B¬ B¬B 也是真的，BBB 是假的，因此 AAA 一定也是假的
析取三段论	(A∨B)∧¬B⊨A(A \vee B) \wedge ¬ B \models A(A∨B)∧¬B⊨A	BBB 是假的，(A∨B)(A \vee B)(A∨B) 是真的，所以 AAA 一定是真的
假言三段论	(A→B)∧(B→C)⊨(A→C)(A \rightarrow B) \wedge( B \rightarrow C)\models (A\rightarrow C)(A→B)∧(B→C)⊨(A→C)	单条件蕴含的传递性
等价三断论	(A↔B)∧(B↔C)⊨(A↔C)(A \leftrightarrow B) \wedge (B \leftrightarrow C) \models (A\leftrightarrow C)(A↔B)∧(B↔C)⊨(A↔C)	双条件蕴含的传递性
构造性二难推理	(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⊨(B∨D)(A \rightarrow B) \wedge ( C \rightarrow D) \wedge (A \vee C) \models (B\vee D)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⊨(B∨D)	A,CA,CA,C 中至少有一个是真的，而且 (A→B),(C→D)(A→B), (C→D)(A→B),(C→D) 都是真的，因此 B,DB, DB,D 有一个是真的，AAA 如果是真的，那么 CCC 就是真的，如果 BBB 是真的，那么 DDD 就是真的；A,CA,CA,C 都真，则 B,DB,DB,D 都真
破坏性二难推理	(A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⊨(¬A∨¬C)(A \rightarrow B) \wedge ( C \rightarrow D) \wedge (¬B \vee ¬D) \models (¬A \vee ¬C)(A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⊨(¬A∨¬C)	B,DB, DB,D 至少有一个是假的，因此，A,CA,CA,C 中至少有一个是假的（结合(A→B),(C→D)(A→B), (C→D)(A→B),(C→D) 的真值表）

推理的有效性证明

有效论证

假设 A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An 都是命题公式，BBB 也是命题公式，

如果对于 A1∧A2∧...An⊨BA_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \models BA1∧A2∧...An⊨B，A1∧A2∧...AnA_1\wedge A_2 \wedge ...A_nA1∧A2∧...An 为假，那么 A1∧A2∧...An⊨BA_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \models BA1∧A2∧...An⊨B 这个推理是有效的；
或者 A1∧A2∧...AnA_1\wedge A_2 \wedge ...A_nA1∧A2∧...An 为真时，BBB 也为真，那么称这个推理是有效的。
总结就是：前件假的时候，无论如何推理都是有效的，前件真的时候，后件也要为真，推理才有效。
如果证明 A1∧A2∧...An⊨BA_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \models BA1∧A2∧...An⊨B 是有效的，那么我们称 BBB 是 有效的结论

无效论证

若前提都是真命题，而结论是假命题（前真推后假，那么是无效论证）。
即 A1∧A2∧...An⊨BA_1\wedge A_2 \wedge ...A_n \models BA1∧A2∧...An⊨B 中A1∧A2∧...AnA_1\wedge A_2 \wedge ...A_nA1∧A2∧...An 为真，但是 BBB 是假。

一定要注意论证（推理）的有效性（Valid）和真（True）的区别

Example

有效论证不一定产生真实的结论，比如如果 前件假（false） 的，那么这个推论（论证）一定是有效的（valid）；但是可能是前假⊨后假前假 \models 后假前假⊨后假，得到的结论还是个假的，但推理确实有效的。
有效论证中可能包含假的前提，而无效的论证中却可能包含真的前提；例如前真⊨后假前真 \models 后假前真⊨后假这个推理就是无效的，但是前提是真的。
如果前提全是真的，那么有效结论也一定是真的。因为这就是前真⊨后真前真 \models 后真前真⊨后真才能使得推理是有效的，因为前真⊨后假前真 \models 后假前真⊨后假这个推理是无效的。

有效论证的 4 种判断方法

判断的方法分为两大类：

采用不同方法来证明推理对应的单条件蕴含式是个永真（重言式）式：
- 真值表法
- 等值演算法
- 主析取范式法
采用逻辑推演法证明：（前真⊨后真前真\models 后真前真⊨后真或者前假⊨后真前假\models 后真前假⊨后真或者前假⊨后假前假\models 后假前假⊨后假或者后假⊨前假后假 \models 前假后假⊨前假）

例题：

判断下列推理是否正确：

若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除。 a 能被 4 整除，所以 a 能被 2 整除
- 构造推理公式：
  - ppp： a 能被 4 整除；
  - qqq：a 能被 2 整除；
  - p→qp\rightarrow qp→q：若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除
  - (p→q)∧p⊨q(p\rightarrow q) \wedge p \models q(p→q)∧p⊨q：若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除。 a 能被 4 整除，所以 a 能被 2 整除
- 逻辑推演法：
  - 采用前真 ⊨\models⊨ 后真的思路
  - p≡Tp\equiv Tp≡T, p→q≡Tp\rightarrow q \equiv Tp→q≡T 所以 q≡Tq \equiv Tq≡T 所以推理是正确的。（就是假言推理形式）
下午马芳去游泳或去看电影，他没去看电影。所以他去游泳了
- 构造推理公式：
  - ppp：下午马芳去看电影；
  - qqq：下午马芳去游泳；
  - p⊕qp\oplus qp⊕q：下午马芳去游泳或去看电影 ≡(¬p∧q)∨(p∧¬q)\equiv(¬ p \wedge q)\vee(p\wedge ¬ q)≡(¬p∧q)∨(p∧¬q)
  - ¬p¬ p¬p：马芳下午没去看电影
  - (¬p∧q)∨(p∧¬q)∧¬p⊨q(¬ p \wedge q)\vee(p\wedge ¬ q) \wedge ¬ p \models q(¬p∧q)∨(p∧¬q)∧¬p⊨q ：下午马芳去游泳或去看电影，他没去看电影。所以他去游泳了
- 逻辑推演法：
  - 采用前真 ⊨\models⊨ 后真的思路
  - (¬p≡T)≡(p≡F)(¬ p\equiv T) \equiv (p \equiv F)(¬p≡T)≡(p≡F),
  - p∧¬q≡Fp\wedge ¬ q \equiv Fp∧¬q≡F 所以 (¬p∧q)≡T(¬ p \wedge q) \equiv T(¬p∧q)≡T 所以 q≡Tq \equiv Tq≡T 所以符合前真推后真。

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