从最基础的讲起如何做到均匀的生成随机数

题目描述：470. 用 Rand7() 实现 Rand10()

因为是第一次接触到这样的题目，毫无思绪，对官方题解也是“不知道为什么要这么做”。看过一些题解之后才逐渐明白，现在让我自己来写题解，我打算先从简单的开始讲起。

Part 1

假设已知rand2()可以均匀的生成[1,2]的随机数，现在想均匀的生成[1,4]的随机数，该如何考虑？

我想如果你也像我一样第一次接触这个问题，那么很可能会这么考虑——令两个rand2()相加，再做一些必要的边角处理。如下：

rand2() + rand2() = ? ==> [2,4]1    +   1     = 21    +   2     = 32    +   1     = 32    +   2     = 4

// 为了把生成随机数的范围规约成[1,n]，于是在上一步的结果后减1

(rand2()-1) + rand2() = ? ==> [1,3]0       +   1     = 10       +   2     = 21       +   1     = 21       +   2     = 3

可以看到，使用这种方法处理的结果，最致命的点在于——其生成的结果不是等概率的。在这个简单的例子中，产生2的概率是50%，而产生1和3的概率则分别是25%。原因当然也很好理解，由于某些值会有多种组合，因此仅靠简单的相加处理会导致结果不是等概率的。

因此，我们需要考虑其他的方法了。

仔细观察上面的例子，我们尝试对 (rand2()-1) 这部分乘以 2，改动后如下：

(rand2()-1) × 2 + rand2() = ? ==> [1,3]0            +   1     = 10            +   2     = 22            +   1     = 32            +   2     = 4

神奇的事情发生了，奇怪的知识增加了。通过这样的处理，得到的结果恰是[1,4]的范围，并且每个数都是等概率取到的。因此，使用这种方法，可以通过rand2()实现rand4()。

也许这么处理只是我运气好，而不具有普适性？那就多来尝试几个例子。比如：

(rand9()-1) × 7 + rand7() = resulta               b

为了表示方便，现将rand9()-1表示为a，将rand7()表示为b。计算过程表示成二维矩阵，如下：

可以看到，这个例子可以等概率的生成[1,63]范围的随机数。再提炼一下，可以得到这样一个规律：
已知 rand_N() 可以等概率的生成[1, N]范围的随机数
那么：
(rand_X() - 1) × Y + rand_Y() ==> 可以等概率的生成[1, X * Y]范围的随机数
即实现了 rand_XY()

part2

那么想到通过rand4()来实现rand2()呢？这个就很简单了，已知rand4()会均匀产生[1,4]的随机数，通过取余，再加1就可以了。如下所示，结果也是等概率的。

rand4() % 2 + 1 = ?1 % 2    + 1 = 22 % 2    + 1 = 13 % 2    + 1 = 24 % 2    + 1 = 1

事实上，只要rand_N()中N是2的倍数，就都可以用来实现rand2()，反之，若N不是2的倍数，则产生的结果不是等概率的。比如：

rand6() % 2 + 1 = ?1 % 2    + 1 = 22 % 2    + 1 = 13 % 2    + 1 = 24 % 2    + 1 = 15 % 2    + 1 = 26 % 2    + 1 = 1

rand5() % 2 + 1 = ?1 % 2    + 1 = 22 % 2    + 1 = 13 % 2    + 1 = 24 % 2    + 1 = 15 % 2    + 1 = 2

Part 3

ok，现在回到本题中。已知rand7()，要求通过rand7()来实现rand10()。

有了前面的分析，要实现rand10()，就需要先实现rand_N()，并且保证N大于10且是10的倍数。这样再通过rand_N() % 10 + 1 就可以得到[1,10]范围的随机数了。

而实现rand_N()，我们可以通过part 1中所讲的方法对rand7()进行改造，如下：

(rand7()-1) × 7 + rand7() ==> rand49()
但是这样实现的N不是10的倍数啊！这该怎么处理？这里就涉及到了“拒绝采样”的知识了，也就是说，如果某个采样结果不在要求的范围内，则丢弃它。基于上面的这些分析，再回头看下面的代码，想必是不难理解了。

class Solution extends SolBase {public int rand10() {while(true) {int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); // 等概率生成[1,49]范围的随机数if(num <= 40) return num % 10 + 1; // 拒绝采样，并返回[1,10]范围的随机数}}
}

Part 4: 优化

这部分具体的代码是参考官方题解的，不过是我自己在理解了part 1和part 2之后才看懂的，一开始看真不知道为什么（/(ㄒoㄒ)/~~...

根据part 1的分析，我们已经知道(rand7() - 1) * 7 + rand7() 等概率生成[1,49]范围的随机数。而由于我们需要的是10的倍数，因此，不得不舍弃掉[41, 49]这9个数。优化的点就始于——我们能否利用这些范围外的数字，以减少丢弃的值，提高命中率总而提高随机数生成效率。

class Solution extends SolBase {public int rand10() {while(true) {int a = rand7();int b = rand7();int num = (a-1)*7 + b; // rand 49if(num <= 40) return num % 10 + 1; // 拒绝采样a = num - 40; // rand 9b = rand7();num = (a-1)*7 + b; // rand 63if(num <= 60) return num % 10 + 1;a = num - 60; // rand 3b = rand7();num = (a-1)*7 + b; // rand 21if(num <= 20) return num % 10 + 1;}}
}

作者：kkbill
链接：https://leetcode-cn.com/problems/implement-rand10-using-rand7/solution/cong-zui-ji-chu-de-jiang-qi-ru-he-zuo-dao-jun-yun-/
来源：力扣（LeetCode）
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