第二讲无穷级数的性质

一，收敛级数的分配率

若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }cu_{n}$ 也收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty }cu_{n}=c\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$
推论：若 $c\neq 0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }cu_{n}$ 具有相同的敛散性

二，收敛级数的结合律

若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})$ 也收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}\pm \sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$
推论1：若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})$ 必发散
推论2：若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})$ 未必发散

三，收敛级数的线性性质

$\sum_{n=1}^{\infty }(au_{n}\pm bv_{n})=\sum_{n=1}^{\infty }au_{n}\pm \sum_{n=1}^{\infty }bv_{n}$

四，前有限项与敛散性无关

改变（减少或增加）级数的有限项，不会改变该级数的敛散性
推论：决定级数敛散性的不是前有限项，而是级数的余项

五，收敛级数内部的结合律

收敛级数按原顺序，任意加括号后，所得的级数仍收敛，且和不变
发散级数内部没有结合律，如图：

六，级数收敛的充分不必要条件

若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛，则通项趋于0： $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0$
推论：若 $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}\neq 0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散

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