题目描述

在一个二维数组中(每个一维数组的长度相同)，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

题目分析

图 1

如果没有头绪的话，很显然使用 暴力解法 是完全可以解决该问题的。

即遍历二维数组中的每一个元素，时间复杂度：O(n^2)。

其实到这里我们就可以发现，使用这种暴力解法并没有充分利用题目给出的信息。这个二维数组是有特点的。

• 每一行都是递增的
• 每一列都是递增的

图 2

解法

解法一：二分法

对于有序数组的查找问题而言，二分法是最容易想到的一个解法。

在这里，对每一行使用二分查找，时间复杂度为 O(nlogn) 。二分查找复杂度 O(logn)，一共 n 行，所以是总体的时间复杂度是 O(nlogn) 。

解法二：规律法

根据二维数组由上到下，由左到右递增的规律。

从左下角开始遍历，如果当前值比 target 小则往右找，如果比 target 大则往上找，如果存在，必然可以找到目标数字。

即选取右上角或者左下角的元素 a[row] [col] 与 target 进行比较， 当target小于元素 a[row] [col] 时，那么 target 必定在元素 a 所在行的左边,让 col-- ；当 target 大于元素 a[row] [col] 时，那么 target 必定在元素 a 所在列的下边,让 row++ ；

图 3

代码如下：

public class Solution { public boolean Find(int target, int [][] array) { int row = 0; int col = array[0].length - 1; while(row <= array.length - 1 && col >= 0){ if(target == array[row][col]) return true; else if(target > array[row][col]) row++ ; else col-- ; } return false; }}

解法三：二分规律法

将解法一和解法二进行结合：对每行每列都使用二分查找，此时的时间复杂度为 O(logn * logm)。

图 4

比如查找数字 9，首先使用用二分查找选出一行，总共有 5 行，那么( 0 + 5 ) / 2 = 2，所以我们找出了第 2行为基准行。

图 5

接下来对这一行(即第 2 行)又使用二分查找， 找出这一行(即第 2 行)中最后一个比目标值小的值，这里是 6。

图 6

6 及其所在的行和列把这个矩形划分为 4 部分：

图 7

1. 左上部分(图 7 灰色部分)，包括所在行的左边部分和所在列的上边部分：这一部分是绝对不会有目标数字的。因为这部分数字肯定比 6 小，而 6 又是小于目标数字的，所以左上部分全部小于目标数字。也就是说这个区域的数字不需要再进行判断了。
2. 右下部分(图 7 绿色部分)，包括所在行的右边部分，但不包括所在列的下面部分， 这一部分也是绝对不会有目标数字的。因为这部分都比 6 右边的数字 11 大，而 11 又比目标数字 9 更大，所以右下部分全部都比目标数字大。也就是说这个区域的数字也不需要再进行判断了。
3. 左下部分(图 7 蓝色部分)，可能含有目标数字。
4. 右上部分(图 7 棕色部分)，可能含有目标数字。

这样，实际上筛选的区域就只剩下左下部分(图 7 蓝色部分)和 右上部分(图 7 棕色部分)这两块区域了，相比于解法二而言，使用这种解法平均情况下每一次查找，都可以把行和列的长度减少一半。

代码如下：

public class Solution { public boolean Find(int target, int [][] array) { // 特殊情况处理 if (array == null || array.length == 0 || array[0].length == 0) { return false; } int h = array.length - 1; int w = array[0].length - 1; // 如果目标值小于最小值 或者 目标值大于最大值，那肯定不存在 if (array[0][0] > target || array[h][w] < target) { return false; } return binarySearchIn2DArray(array, target, 0, h, 0, w); } public static boolean binarySearchIn2DArray(int[][] array, int target, int startX, int endX, int startY, int endY) { if (startX > endX || startY > endY) { return false; } //首先，根据二分法找出中间行 int x = (startX + endX) / 2; //对该行进行二分查找 int result = binarySearch(array[x], target, startY, endY); //找到的值位于 x 行，result 列 if (array[x][result] == target) { return true; // 如果找到则成功 } //对剩余的两部分分别进行递归查找 return binarySearchIn2DArray(array, target, startX, x - 1, result + 1, endY) || binarySearchIn2DArray(array, target, x + 1, endX, startY, result); } public static int binarySearch(int[] array, int target, int start, int end) { int i = (start + end) / 2; if (array[i] == target || start > end) {  return i; } else if (array[i] > target) { return binarySearch(array, target, start, i - 1); } else { return binarySearch(array, target, i + 1, end); } }}