MATLAB数值积分与微分

8.1 数值积分

8.1.1 数值积分基本原理

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

8.1.2 数值积分的实现方法

1．变步长辛普生法

基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例8-1 求定积分。

(1) 建立被积函数文件fesin.m。

function

f=fesin(x)

f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

(2) 调用数值积分函数quad求定积分。

[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

S =

0.9008

n =

77

2．牛顿－柯特斯法

基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)

其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

例8-2 求定积分。

(1) 被积函数文件fx.m。

function

f=fx(x)

f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

(2) 调用函数quad8求定积分。

I=quad8('fx',0,pi)

I =

2.4674

例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。

调用函数quad求定积分：

format

long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

I =

0.28579444254766

n =

65

调用函数quad8求定积分：

format

long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

I =

0.28579444254754

n =

33

3．被积函数由一个表格定义

在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。

例8-4 用trapz函数计算定积分。

命令如下：

X=1:0.01:2.5;

Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量

trapz(X,Y)

ans =

0.28579682416393

8.1.3 二重定积分的数值求解

使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：

I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。

例8-5 计算二重定积分

(1) 建立一个函数文件fxy.m：

function

f=fxy(x,y)

global

ki;

ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数

f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

(2) 调用dblquad函数求解。

global

ki;ki=0;

I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

ki

I =

1.57449318974494

ki =

1038

8.2 数值微分

8.2.1 数值差分与差商

8.2.2 数值微分的实现

在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：

DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。

DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。

例8-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。

命令如下：

V=vander(1:6)

DV=diff(V) %计算V的一阶差分

例8-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。

程序如下：

f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');

g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');

x=-3:0.01:3;

p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)

dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp

dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值

dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数

,diff是后一个数减去前一个数。在最后面加了一个点3.01->才能求出x=3的微分值。n+1个点中间有n段线段

gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数

plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图

一、Z = trapz(X,Y,dim)

梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分。

例1 计算int(sin(x),0,pi)

>>x=0:pi/100:2*pi;

>>y=sin(x);

>>z=trapz(x,y)%或者说使用z =

pi/100*trapz(y)

z =

1.0300e-017

>>z = pi/100*trapz(y)

二、[q,fcnt]=

quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分。

注意事项：

1.被积函数fun必须是函数句柄；

2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf；

3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值。

可能警告：

1.'Minimum step size reached'

意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点；

2.'Maximum function count exceeded'

意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点；

3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]。

>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);

>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用

quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套。

Q =

-0.4605

>>quad(F,0,2,[],[],5)

ans =

-0.4605

三、[q,fcnt] =

quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分。

注意事项：

同quad

可能警告：

同quad

例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]。

>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);

>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q =

quadl(@(x)F(x,5),0,2)。

Q =

-0.4605

四、[q,errbnd] =

quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法。

注意事项：

1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减；

2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上；

3.被积函数可以剧烈震荡；

4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调；

5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接；

6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助。

出现错误：

1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in

use'

2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

例4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)。

>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分。

>>Q = quadgk(F,0,1)

Q =

-1.3179

例5 计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)。

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>fplot(F,[0,100])%绘图，看看函数的图形

>>[q,errbnd] =

quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%积分限中可以有inf，但必须快速收敛

q =

-15.0000

errbnd =

9.4386e-009

例6

计算不连续积分，积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人为定义f(2)=1000，f(5)=-100，积分区间为[1

10]。

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>[q,errbnd] =

quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%显然2，5为间断点

q =

-10.9408

errbnd =

3.2296e-014

例7 计算围道积分，在复数域内，积分函数1/(2*z-1)，积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i

-1-i]围成的矩形边框。

>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i

-1-i];

>>plot(Waypoints);%绘制积分路径

>>xlabel('Real axis');ylabel('Image

axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;

>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z -

1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各点间使用直线连接

ans =

0.0000 + 3.1416i

>> quadgk(@(z)1./(2*z -

1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用这个的效果也是一样的，就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints中。

ans =

0.0000 + 3.1416i

五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)

矢量化自适应simpson数值积分。

注意事项：

1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分；

2.所有的要求完全与quad相同。

例8 计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]。

>>for k =

1:5, Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs

Qs =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定义被积函数

>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者

ans =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

六、q =

dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

矩形区域二重数值积分，一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)的quad2dggen函数。

例9 计算下面二重积分

>>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);

>Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)

Q =

-9.8696

七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)

长方体区域三重数值积分，注意此时没有一般区域的三重积分。

例10 计算下面三重积分。

>>F =

@(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);

>>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)

Q =

2.0000

八、超维长方体区域多重积分

quadndg：NIT工具箱函数，可以解决多重超维长方体边界的定积分问题，但没有现成的一般积分区域求解函数。

下面总结下：

(1)quad：采用自适应变步长simpson方法，速度和精度都是最差的，建议不要使用；

(2)quad8：使用8阶Newton-Cotes算法，精度和速度均优于quad，但在目前版本下已被取消；

(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均较好，建议全部使用该函数；

(4)quadg：NIT(数值积分)工具箱函数，效率最高，但该工具箱需要另外下载；

(5)quadv：quad的矢量化函数，可以同时计算多个积分；

(6)quadgk：很有用的函数，功能在Matlab中最强大；

(7)quad2dggen：一般区域二重积分，效率很好，需要NIT支持；

(8)dblquad：长方形区域二重积分；

(9)triplequadL：长方体区域三重积分；

(10)quadndg：超维长方体区域积分，需要NIT支持。

int的积分可以是定积分，也可以是不定积分(即有没有积分上下限都可以积)，可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3

；

quad是数值积分，它只能是定积分(就是有积分上下限的积分)，它是通过simpson数值积分来求得的(并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的)。如果f=inline(‘x.^2′);quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3

；

最新心得：

看一本书上介绍quad积分时，是创建了一个子函数形式，如

function f=quadl(x)

f=x.^2;

Q=quad(‘quadl’,0,2)

结果Q =

2.6667

如果函数中有一个已知变量如a的话，如

function f=quadl(x)

a=2;

f=a+x.^2;

Q=quad(‘quadl’,0,2)

结果Q =

6.6667

当用使用inline函数的时候可以避免调用子函数的麻烦，直接把这个功能集成于总程序，如

f=inline(‘x.^2′);quad(f,1,2)

但是当函数为

a=2；

f=inline(‘a+x.^2′);

quad(f,1,2)

计算就会出错，说明inline中不能带已知的字母。

但是很多时候，变量a是循环变化的，这样就导致这种调用子函数的方法非常不好用，

a不能及时改变，下面的方法可以解决这个问题：

a=2;

f=@(x)(a+x.^2);

Q=quad(f,0,2)

结果Q =

6.6667 正确

用@来表达函数要比inline应用更广，在循环中应用更有利！