在电影《少年班》中周知庸老师刚遇到王大法的时候，周问了王这么一个问题：

设一共有20级楼梯，每次能下1级或2级，问共有多少种下法？

王大法很快算出了有10946种。

其实这个数字也不难得出，设下n级楼梯时有F(n)种下法，那么n=1时有1种下法，n=2时有2种下法（连下两个一级或直接下两级），n>=3时有F(n-1)+F(n-2)种下法。所以F(1)=1，F(2)=2，F(3)=F(2)+F(1)，F(4)=F(3)+F(2)，F(5)=F(4)+F(3)，…… 最后F(20)=F(19)+F(18)

这个递归形式的计算方法和斐波那契数列（OEIS：A000045）是一样的，只不过初始值不一样。

斐波那契数列的递归规律：

（图1）

这是我们要计算内容的递归规律：

（图2）

用代码实现这个递归也很方便，如下面的VB.net函数：

Public Function Func(x As Integer) As IntegerIf x < 0 ThenReturn 0ElseIf x = 1 ThenReturn 1ElseIf x = 2 ThenReturn 2ElseReturn Func(x - 1) + Func(x - 2)End If
End Function

使用此函数对前20级楼梯的计算结果为：

F(20)=10946，电影中王大法给出的结果与之一致。

下面我们更深入地研究一下这个问题：找出这个数列的通项公式。 Richard A. Brualdi 所著的《组合数学》第5版（冯速等译）一书第7章《递推关系和生成函数》给出了寻找斐波那契数列生成函数的方法，我们完全可以照猫画虎，写出本题中数列的通项公式，计算步骤如下：

∵n>=3时，有 F(n)=F(n-1)-F(n-2)

∴n>=3时，F(n)-F(n-1)-F(n-2)=0

令F(n)=q^n，则有

（图3）

（图4）

因为q不为0，所以只需要解出方程q^2-q-1=0即可：

（图5）

q1和q2都是我们所求数列的解，我们所求数列的通项公式可以写成下面的形式：

（图6）

当n=1和n=2时，我们可以联立两个二元一次方程：

（图7）

（图8）

将c1和c2带入到F(n)中

（图9）

因此可得出通项公式为：

（图10）

为验证此方法的正确性，我写了一段代码进行验证：

Public Function Func2(x As Integer) As DecimalIf x < 0 ThenReturn 0ElseIf x = 1 ThenReturn 1ElseIf x = 2 ThenReturn 2ElseDim result As Decimal = 0Dim sqrt5 As Decimal = Math.Sqrt(5)result = ((5 + sqrt5) / 10) * ((1 + sqrt5) / 2) ^ x + _((5 - sqrt5) / 10) * ((1 - sqrt5) / 2) ^ xReturn Math.Round(result)End If
End Function

运行结果如下，计算得出的结果与上一种递归解法是一样的。

附：本文中所有的数学公式，都是在Wikipedia的编辑器上写的，该编辑器使用TeX语法编辑数学公式，代码如下：

图1： <math>F(n)=\begin{cases}1,n=0\\1,n=1\\F(n-1)+F(n-2),n\ge2\end{cases}</math>

图2： <math>F(n)=\begin{cases}0,n=0\\1,n=1\\2,n=2\\F(n-1)+F(n-2),n\ge3\end{cases}</math>

图3： <math>q^{n}-q^{n-1}-q^{n-2}=0</math>

图4： <math>q^{n-2}\left(q^2-q-1\right)=0</math>

图5： <math>q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>

图6： <math>F(n)=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n</math>

图7： <math>\begin{cases}F(1)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}c_1+\frac{1-\sqrt{5}}{2}c_2=1\\F(2)=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2c_1+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2c_2=2\end{cases}</math>

图8： <math>c_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10},c_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}</math>

图9： <math>F(n)=\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n</math>

图10： <math>F(n)=\begin{cases}0,n=0\\1,n=1\\2,n=2\\\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n,n\ge3\end{cases}</math>

END