一元线性回归模型系数、方差估计、检验回归效果显著性,b的置信区间，Y约为X的指数函数时，求Y关于x的回归方程

y=a^+b^xy=\hat a + \hat b xy=a^+b^x
Sxy=(x1y1+x2y2+...+xnyn)−(x1+x2+...+xn)(y1+y2+...+yn)nS_{xy}=(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)-\frac{(x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)}{n}Sxy=(x1y1+x2y2+...+xnyn)−n(x1+x2+...+xn)(y1+y2+...+yn)
Sxx=(x12+x22+...+xn2)−(x1+x2+...+xn)2nS_{xx}=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{n}Sxx=(x12+x22+...+xn2)−n(x1+x2+...+xn)2
b^=SxySxx\hat b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}b^=SxxSxy
a^=y1+y2+...+ynn−(x1+x2+...+xn)nb^\hat a =\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}-\frac{(x_1+x_2+...+x_n)}{n} \hat ba^=ny1+y2+...+yn−n(x1+x2+...+xn)b^
σ2^=Syy−Sxyb^n−2\hat{\sigma^2}=\frac{S_{yy}-S_{xy}\hat{b}}{n-2}σ2^=n−2Syy−Sxyb^

python代码实现：

import numpy as np
import math
def Sxy(x,y):sum = 0sumx = 0sumy = 0for i in range(len(x)):sum+=x[i]*y[i]sumx+=x[i]sumy+=y[i]return sum-sumx*sumy/len(x)def a(x,y,b):sumy = 0sumx = 0for i in range(len(x)):sumy += y[i]sumx += x[i]sumy/=len(x)sumx/=len(x)return sumy - sumx * bx = [100,110,120,130,140,150,160,170,180,190]
y = [45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]
sxy = Sxy(x,y)
print('sxy:',sxy)
sxx = Sxy(x,x)
print('sxx:',sxx)
b = sxy/sxx
print('b:',b)
a = a(x,y,b)
print('a:',a)
print('所有一元回归函数为Y=',a,'x+',b)

检验回归效果显著性
1）设H0:b=0,H1:b≠0H_0:b=0,H_1:b\not =0H0:b=0,H1:b=0
2）判断∣b^∣σ^Sxx与tα2(n−2)\frac{|\hat b|}{\hat \sigma}\sqrt{S_{xx}}与t_{\frac{\alpha}{2}(n-2)}σ^∣b^∣Sxx与t2α(n−2)
若∣b^∣σ^Sxx≥tα2(n−2)\frac{|\hat b|}{\hat \sigma}\sqrt{S_{xx}} \ge t_{\frac{\alpha}{2}(n-2)}σ^∣b^∣Sxx≥t2α(n−2)则回归效果显著

import numpy as np
import math
def Sxy(x,y):sum = 0sumx = 0sumy = 0for i in range(len(x)):sum+=x[i]*y[i]sumx+=x[i]sumy+=y[i]return sum-sumx*sumy/len(x)def a(x,y,b):sumy = 0sumx = 0for i in range(len(x)):sumy += y[i]sumx += x[i]sumy/=len(x)sumx/=len(x)return sumy - sumx * bx = [100,110,120,130,140,150,160,170,180,190]
y = [45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]
sxy = Sxy(x,y)
print('sxy:',sxy)
sxx = Sxy(x,x)
print('sxx:',sxx)
b = sxy/sxx
print('b:',b)
a = a(x,y,b)
print('a:',a)
print('所有一元回归函数为Y=',a,'x+',b)
syy = Sxy(y,y)
print('syy:',syy)
sigma2 = (syy-b*sxy)/(len(x)-2)
print('sigma2:',sigma2)
print(abs(b)/math.sqrt(sigma2)*math.sqrt(sxx))

求系数b的置信区间
置信区间为(b^−tα2(n−2)a^Sxx,b^+tα2(n−2)a^Sxx)(\hat b-t_{\frac{\alpha}{2}(n-2)}\frac{\hat a}{S_{xx}},\hat b+t_{\frac{\alpha}{2}(n-2)}\frac{\hat a}{S_{xx}})(b^−t2α(n−2)Sxxa^,b^+t2α(n−2)Sxxa^)

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