Matlab中inv函数的使用

语法

说明

示例

逆矩阵

线性方程组求解

inv功能作用是矩阵求逆

语法

Y = inv(X)

说明

Y = inv(X) 计算方阵 X 的逆矩阵。

X^(-1) 等效于 inv(X)。
x = A\b 的计算方式与 x = inv(A)*b 不同，建议用于求解线性方程组。

示例

逆矩阵

计算一个 3×3 矩阵的逆矩阵。

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]
X = 3×31     0     2-1     5     00     3    -9Y = inv(X)
Y = 3×30.8824   -0.1176    0.19610.1765    0.1765    0.03920.0588    0.0588   -0.0980

检查结果。理想情况下，Y*X 将生成单位矩阵。由于 inv 使用浮点计算执行矩阵求逆，因此，实际上 Y*X 接近但不完全等于单位矩阵 eye(size(X))。

Y*X
ans = 3×31.0000    0.0000   -0.00000    1.0000   -0.00000   -0.0000    1.0000

线性方程组求解

了解为何通过使用 inv(A)*b 求逆矩阵对线性方程组求解不如使用反斜杠运算符（即 x = A\b）直接求解。

创建一个 500 阶的随机矩阵 A，其条件数 cond(A) 为 1e10，并且其范数 norm(A) 为 1。精确解 x 是一个长度为 500 的随机向量，并且右侧为 b = A*x。因此，线性方程组未正确设置条件但一致。

n = 500;
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

通过反转系数矩阵 A 对线性方程组 A*x = b 求解。使用 tic 和 toc 获取时间信息。

tic
y = inv(A)*b;
t = toc
t = 0.0212

求计算的绝对误差和残差。

err_inv = norm(y-x)
err_inv = 5.1504e-06
res_inv = norm(A*y-b)
res_inv = 5.9510e-07

现在，使用反斜杠运算符 \ 对同一个线性方程组求解。

tic
z = A\b;
t1 = toc
t1 = 0.0113
err_bs = norm(z-x)
err_bs = 4.0520e-06
res_bs = norm(A*z-b)
res_bs = 3.9167e-15

反斜杠计算方法速度更快，而且残差减少了几个数量级。err_inv 和 err_bs 均为 1e-6 的阶数这个事实直接反映了矩阵的条件数。

此示例的行为非常常见。使用 A\b（而非 inv(A)*b）的速度要快两至三倍，并且会基于计算机准确度生成残差（相对于数据量值而言）。

输入矩阵，指定为方阵。如果 X 未正确缩放或接近奇异矩阵，inv 计算的数值将不准确。使用 rcond 或 cond 检查矩阵的条件数。

对于矩阵 X，如果存在一个具有相同大小的矩阵 Y 以便 XY=YX=In（其中 In 是 n×n 单位矩阵），则该矩阵为可逆矩阵。矩阵 Y 称为 X 的逆矩阵。

没有逆矩阵的矩阵是奇异矩阵。对于方阵，仅当其行列式恰好为零时，它才是奇异矩阵。

提示

很少需要为某个矩阵构造显式逆矩阵。当解算线性方程组 Ax = b 时，往往会错误使用 inv。对该方程求解的方法之一是使用 x = inv(A)*b。从执行时间和数值准确性方面而言，一种更好的方法是使用矩阵反斜杠运算符，即 x = A\b。这会使用高斯消去法求解，而不必显式构造逆矩阵。有关详细信息，可以参考mldivide。

算法

inv 执行输入矩阵的 LU 分解（如果输入矩阵是 Hermitian 矩阵，则执行 LDL 分解）。然后它使用结果来形成线性方程组，其解为矩阵求逆 inv(X)。对于稀疏输入，inv(X) 将创建稀疏单位矩阵并使用反斜杠，即 X\speye(size(X))。

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