一、知识点介绍

1.1 历史模拟法

我们在之前有用到Delta-Normal的GARCH和RiskMetrics方法来计算VaR和ES，假设的是残差满足正态分布，对残差进行二次相关序列的建模并拟合残差，能够得到未来的预测值。而这里说的历史模拟法和蒙特卡罗模拟法跟上面有点不太一样，所基于的前提跟GARCH和RiskMetrics方法认为残差存在着二次自相关不同，本节所涉及到的两种方法也是认为历史可以预测未来(即趋势存在着一定的平稳性)，历史模拟法认为历史的分布和未来的分布是一致的，因此历史所计算出来的VaR和ES可以用来代替未来的VaR和ES。有点像电影《土拨鼠之日》不断重复的一天。

1.2 蒙特卡罗模拟法

跟历史模拟法不同，蒙特卡罗模拟法认为的是标准化残差是满足某种分布的(比如说学生t分布)，它跟《土拨鼠之日》有些不同，并不是每天的简单重复，有点类似于《楚门的世界》，每天都会有向前一点点的变化，而在这个波动率的变化当中，这里的一点点变化就是标准化残差沿着学生t分布在变动。在这里我有必要解释下标准化残差的概念，其实一开始对这个概念也是糊里糊涂的，但是后来看到代码的实现，其实发现跟标准化正态分布的数据点有点类似。实际上我们在刻画残差的时候，假设说没有其他无关的扰动，数据的数值变动(也就是残差)是完全遵循我们模型算出来的总体标准差sigma的变动的，如果是正态分布，我们应该能看到所有数据点都整整齐齐排在正态分布的曲线上(注意跟数据点出现的顺序无关，并且样本要足够大)，但实际上不可能这么理想，本身模拟出来sigma也要变动，并且这个变动(err)我们假设是满足t 学生分布的，那么残差=sigama * err，这里的err是均值为0，标准差为1，自由度为df的标准的t分布，相当于t分布的err其实是一个标准，sigma*err相当于是一个线性的作用(思考利率一定的情况下，本金越多，收益当然越大)。

我们绘制一下自由度为4的t分布图。

curve(dt(x,df=4),from=-3, to=3, las='1', main='t distribution', cex.main=0.8)

二、数据处理

2.1 历史模拟法

2.1.1 读取数据

dd

head(dd)#打印出前几行看一看

dim(dd)#看看data的维度请款

输出结果

输出结果

输出结果

从返回的结果来看，数据一共有7列，有1258行。

接下来，我们以收盘价计算出收益率的大小，同样是对数取差。

dd

head(dd)#打印出前6行看看结果

2.1.2 计算VaR值

#接下来我重新命名下改为loss，并每个值都转换成百分比的值

loss

#计算置信水平为95%的分位数

VaR

接下来我们知道了单日VaR的值是2.072488%，也就是在95%置信水平下的波动率不会超过这个值，这个是单日的，如果是多日的，则要乘以sqrt(T)，然后再乘以投资金额就可以了。当然也可以用5天为一个滚动窗口，求平均值以及求这个5天窗口形成的数据的分位数VaR值，这样就不用乘以sqrt(T)，但结果应该是有差别的。

2.1.3 计算ES值

ES是指当损失大于VaR以后的损失均值，因此我们通过排序把95%置信区间以后的最大数筛选出来，然后求算术平均就可以了。

sloss

ES

ES

所计算的单日头寸ES为2.942944%。

2.2 蒙特卡罗模拟法

我们接下来试着用代码来建模预测

步骤如下：

建立GARCH模型，预测出均值和方差方程

进行蒙特卡罗模拟

其中蒙特卡罗模拟计算VaR和ES的方法思路如下：

最终得到的数据点分布还是按照之前的95%分位点的方法去取得VaR以及计算尾部均值ES。

2.2.1 建立GARCH模型

在这里我们加多一个参数distribution.model='std'表明标准化残差是满足t分布的。

spec3

#拟合模型

fit3

#查看模型的拟合结果

show(fit3)

输出结果

我们之后还要用到这些参数来计算当天的方差->经过标准化t 学生分布转化后的残差->计算出当天的损失率的值->计算出5天损失率的总和

我们先把这些参数都存储起来

mu

alpha

beta

df

#从拟合结果当中提取历史波动率

sig

2.2.2 进行蒙特卡罗模拟

接下来要初始化一开始的数据值

#设置天数为一周，也就是5天

t

#迭代次数

nround

#设置随机性，这样你再重新运行代码也是相同的满足随机分布的数字

set.seed(42)

#生成t分布的一个矩阵，行为天数，列为迭代次数

err

#设置迭代的起始点，取历史数据的最后一行，包括数据点和标准差

init

#初始化x_t为空值

xt

输出结果

#以init为起点，进行nround轮迭代

for (j in 1:nround){

lt

at

vart

for (i in 1:t){

var

vart

at

lt

}#此循环结束后，得到未来5期的损失变量序列的一次模拟值lt

xt

}#此循环结束后就得到5期损失变量总和的3000次模拟值

输出结果

#计算VaR值

VaR2

#计算ES

sxt

ES2

VaR2

ES2

idxVaR2]#筛选出大于VaR2值的索引

ES3

ES3

以另外一种方法打印出ES的均值与排列后的尾部均值是一致的，说明结果比较靠谱。

结果表明，用蒙特卡罗模拟法得到一周的VaR值和尾部均值ES为4.376929%和5.841472%。也就是说在95%的置信水平下，未来一周最大损失率不超过4.376929%，万一发生95%外的损失均值为5.841472%。

三、总结

本文介绍了历史模拟法和蒙特卡罗模拟法计算VaR和ES的实现，历史模拟法比较好理解，但是蒙特卡罗模拟法的流程需要花点心思研究下，并且不同模型的前提是不同的，要关注模型成立的前提条件决定使用什么样的模型。

参考资料