预备知识

①设点\(P(a，b)\)，则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a，b)\)，

即两点\(P(a，b)， Q(2m-a，b)\)关于直线\(x=m\)对称。

②有关轴对称的概念

函数自身对称

注意：下面的结论只涉及到一个函数；

1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；

2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称)，则\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；

3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，反之亦成立；

4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a，b)\)对称，则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。

抽象函数的性质的验证

5、若函数\(f(x)\)是偶函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=2a(a>0)\)；

6、若函数\(f(x)\)是奇函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=4a(a>0)\)；

7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)和\(x=b\)对称，则\(T=2|a-b|\)；

8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)和点\(N(b，0)\)对称，则\(T=2|a-b|\)；

9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b，0)\)对称，则\(T=4|a-b|\)；

两个函数对称

以下结论涉及到两个不同的函数，可以用相关点法证明；

1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a，b)\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于点\((a，b)\)的对称点\((2a-x_0，2b-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=0\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=m\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

典例剖析

设函数\(y=f(x)\)，若恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，则该函数图像是轴对称图形，其对称轴为直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)。

证明：设点\(A(m，n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点，则有\(n=f(m)\)

易知，点\(A(m，n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(B(a+b-m， n)\)

由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，

令其中的\(x=m-a\)，则代入上式可得：\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)

又\(f(m)=n\)，\(f(m)=f(a+b-m)\)，∴\(n=f(a+b-m)\)，即点\(B(a+b-m， n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。

由点\(A(m，n)\)的任意性可知，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

函数\(y=f(x+a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线_________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x+a)\)

又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x， y)\)

∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\)，即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)

∴点\(Q(b-a-x，y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。

即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，

关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

函数\(y=f(x-a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线___________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x-a)\)

又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)

∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\)，即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)

∴点\(Q(b+a-x，y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，

关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

反思总结：其实例3可以直接用例2的结论。

这样用：对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。

已知函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=a\)对称，则\(a=1\)。

法1：用具体函数做例子，将抽象问题具体化，比如\(f(x)=x^2\)，

则\(f(3-x)=(3-x)^2\)，\(f(1+x)=(1+x)^2\)，做出这两个图像可知，

函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称，

注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。

法2：利用图像变换做抽象说明，以函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)为模板来解释，

函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称，将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\)，

将\(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)，

故此时的两个函数\(f(x+1)\)与\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。

已知函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=b\)对称，则\(b=-1\)。

法1：仿上法1，得到\(b=-1\)。

法2：将\(f(x)\)向左3个单位，得到\(f(3+x)\)，将\(f(-x)\)向右1个单位，

得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\)，故函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。

反思总结：

①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？

若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，

此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；

而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。

②、怎么理解？

【两个函数关于某一点对称】

给定命题，函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。

解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，

\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，

\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，

则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，

将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，

即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，

也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，

又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，

函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，

故为真命题。

【两个函数关于某条直线对称】在同一个平面直角坐标系中，函数\(y=f(x+1)\)与函数\(y=(-x-1)\)的图像恒【】

$A$.关于$x$轴

$B$.关于直线$x=1$对称

$C$.关于直线$x=-1$对称

$D$.关于$y$轴

分析：特殊化策略，令\(f(x)=x^3\)，选\(C\).

已知函数 \(f(x)\) 是定义在\(R\)上的奇函数，且当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=x(x-4)\)，则方程\(f(x)= f(2 -x)\)的所有解的和为【\(\quad\)】

$A.4+\sqrt{3}$ $B.1$ $C.3$ $D.5$

分析：\(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数，且当 \(x\geqslant 0\) 时，\(f(x)=x(x－4)\)，

当\(x<0\)时，\(-x>0\)，则\(f(-x)=-x(-x-4)=-f(x)\)，

即\(x<0\)时，\(f(x)=-x(x+4)\)，则有\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-4)，x\geqslant 0}\\{-x(x+4)，x<0}\end{array}\right.\)

作出\(y=f(x)\)和\(y=f(2-x)\)的图象如图，\(y=f(2-x)\)的图象与\(y=f(x)\)的图象关于\(x=1\)对称，

作出\(y=f(2-x)\)的图象，由图象知\(y=f(2-x)\)与\(y=f(x)\)的图象有三个交点，

即\(f(x)=f(2-x)\)有三个根，其中一个根为\(1\)，另外两个根\(a\)，\(b\) 关于\(x=1\)对称，

即 \(a+b=2\)，则所有根之和为\(a+b+1=2+1=3\)，故选：\(C\).

证明：由函数\(f(x)\)是偶函数，得到\(f(-x)=f(x)①\)；

又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，

由①②得到，\(f(2a-x)=f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，

即\(f(x+2a)=f(x)\)，故\(T=2a(a>0)\)； ↩︎

证明：由函数\(f(x)\)是奇函数，得到\(-f(-x)=f(x)①\)；

又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，

由①②得到，\(f(2a-x)=-f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，

即\(f(x+2a)=-f(x)\)，故\(T=4a(a>0)\)； ↩︎

证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；

又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称，得到\(f(x)=f(2b-x)②\)；

即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，

得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎

证明：由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)；

又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)；

即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，

得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎

证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；

又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)，

故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)得到，\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)，

再用\(x-2a\)替换\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)，

即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\)，故\(T=4|a-b|\)； ↩︎