函数对称性常见公式_知识点：函数的对称性总结

知识点：函数的对称性总结

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，

也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点

与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不

仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷

地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文

拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个

方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理

函数

y = f (x)

的图像关于点

A (a ,b)

对称的充要

条件是

f (x) + f (2a

－

x) = 2b

证明：

(必要性)设点

P(x ,y)

是

y = f (x)

图像上任一点，

∵点

P( x ,y)

关于点

A (a ,b)

的对称点

(

－

，

－

)

也在

y = f (x)

图像上，

－

y = f (2a

－

即

y + f (2a

－

x)=2b

故

f (x) + f (2a

－

x) = 2b

，必要性

得证。

(充分性)设点

P(x0,y0)

是

y = f (x)

图像上任一点，则

= f (x0)

∵ f (x) + f (2a－

x) =2bf (x0) + f (2a

－

x0) =2b

，即

－

y0 = f (2a

－

x0)

。

故点

(

－

，

－

)也在

y = f (x)

图像上，而点

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