一、一元二次方程

（一）源码

$ax^2+bx+c=0，a\neq 0 \\
\Delta=b^2-4ac \\
If \quad \Delta \geq 0 \quad Then \\
\quad x_1=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
\quad x_2=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
Else \\
\quad x_1=\displaystyle -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\
\quad x_2=\displaystyle -\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\
End \ If$

（二）效果

ax2+bx+c=0，a≠0Δ=b2−4acIfΔ≥0Thenx1=−b+b2−4ac2ax2=−b−b2−4ac2aElsex1=−b2a+4ac−b22aix2=−b2a−4ac−b22aiEndIfax^2+bx+c=0，a\neq 0 \\ \Delta=b^2-4ac \\ If \quad \Delta \geq 0 \quad Then \\ \quad x_1=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \quad x_2=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ Else \\ \quad x_1=\displaystyle -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\ \quad x_2=\displaystyle -\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i \\ End \ Ifax2+bx+c=0，a​=0Δ=b2−4acIfΔ≥0Thenx1​=2a−b+b2−4ac​​x2​=2a−b−b2−4ac​​Elsex1​=−2ab​+2a4ac−b2​​ix2​=−2ab​−2a4ac−b2​​iEnd If

（三）用WPS来创建

• 启动公式编辑器
  
  
• 插入到WPS文档，可以缩放公式
  
• 虽然用WPS可以做出漂亮的数学公式，但是效率不及用Markdown来编写数学公式。

二、三角函数、指数函数和对数函数

（一）第一版

1、源码

$sin(x+\frac{\pi}{4})+cos(x-\frac{\pi}{3})+ln(e^{x+1}+5x)=0$

2、效果

sin(x+π4)+cos(x−π3)+ln(ex+1+5x)=0sin(x+\frac{\pi}{4})+cos(x-\frac{\pi}{3})+ln(e^{x+1}+5x)=0sin(x+4π​)+cos(x−3π​)+ln(ex+1+5x)=0

• 缺点：分式被压缩，不好看；函数名不应该斜体

（二）第二版

• 让分式正常显示

1、源码

$\displaystyle sin(x+\frac{\pi}{4})+cos(x-\frac{\pi}{3})+ln(e^{x+1}+5x)=0$

2、效果

sin(x+π4)+cos(x−π3)+ln(ex+1+5x)=0\displaystyle sin(x+\frac{\pi}{4})+cos(x-\frac{\pi}{3})+ln(e^{x+1}+5x)=0sin(x+4π​)+cos(x−3π​)+ln(ex+1+5x)=0

（三）第三版

• 让函数名正体显示

1、源码

$\displaystyle \mathrm{sin}(x+\frac{\pi}{4})+\mathrm{cos}(x-\frac{\pi}{3})+\mathrm{ln}(\mathrm{e}^{x+1}+5x)=0$

2、效果

sin(x+π4)+cos(x−π3)+ln(ex+1+5x)=0\displaystyle \mathrm{sin}(x+\frac{\pi}{4})+\mathrm{cos}(x-\frac{\pi}{3})+\mathrm{ln}(\mathrm{e}^{x+1}+5x)=0sin(x+4π​)+cos(x−3π​)+ln(ex+1+5x)=0

（四）第四版

• 让括号变大

1、源码

$\displaystyle \mathrm{sin}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{cos}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{x+1}+5x\right)=0$

2、效果

sin(x+π4)+cos(x−π3)+ln(ex+1+5x)=0\displaystyle \mathrm{sin}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{cos}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{x+1}+5x\right)=0sin(x+4π​)+cos(x−3π​)+ln(ex+1+5x)=0

（五）第五版

• 函数名粗体显示

1、源码

$\displaystyle \mathbf{sin}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\mathbf{cos}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\mathbf{ln}\left(\mathbf{e}^{x+1}+5x\right)=0$

2、效果

sin(x+π4)+cos(x−π3)+ln(ex+1+5x)=0\displaystyle \mathbf{sin}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\mathbf{cos}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\mathbf{ln}\left(\mathbf{e}^{x+1}+5x\right)=0sin(x+4π​)+cos(x−3π​)+ln(ex+1+5x)=0

三、极限

（一）源码

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{1}{n}\right)^n=e$

（二）效果

lim⁡n→+∞(1+1n)n=e\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{1}{n}\right)^n=en→+∞lim​(1+n1​)n=e

四、定积分

（一）源码

$\displaystyle \int_{-1}^2(2x+1)dx=(x^2+x)|^2_{-1}=6-0=6$

（二）效果

∫−12(2x+1)dx=(x2+x)∣−12=6−0=6\displaystyle \int_{-1}^2(2x+1)dx=(x^2+x)|^2_{-1}=6-0=6∫−12​(2x+1)dx=(x2+x)∣−12​=6−0=6

五、求和

（一）源码

$\displaystyle1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

（二）效果

1+2+3+...+n=n(n+1)2\displaystyle1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}1+2+3+...+n=2n(n+1)​

六、课后练习

（一）化学方程式

{Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑(1)2H2+O2=点燃2H2O(2)2KMnO4=ΔK2MnO4+MnO2+O2↑(3)3CuO+2NH3=Δ催化剂3Cu+N2↑+3H2O(4)\begin{cases} &Zn+H_2SO_4\xlongequal{}ZnSO_4+H_2\uparrow &(1)\\ &2H_2+O_2\xlongequal{点燃}2H_2O &(2)\\ &2KMnO_4\xlongequal{\Delta}K_2MnO_4+MnO_2+O_2\uparrow &(3)\\ &3CuO+2NH_3\xlongequal[\Delta]{催化剂}3Cu+N_2\uparrow+3H_2O &(4) \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​Zn+H2​SO4​ZnSO4​+H2​↑2H2​+O2​点燃2H2​O2KMnO4​ΔK2​MnO4​+MnO2​+O2​↑3CuO+2NH3​催化剂Δ​3Cu+N2​↑+3H2​O​(1)(2)(3)(4)​

（二）数学公式

1. 设f−1(x)=1−2x1+2xf^{-1}(x)=\displaystyle \frac{1-2x}{1+2x}f−1(x)=1+2x1−2x​，则f(x)=f(x)=f(x)=(  )。
   A. 1−x2(1+x)\displaystyle \frac{1-x}{2(1+x)}2(1+x)1−x​   B. 1−x1+x\displaystyle \frac{1-x}{1+x}1+x1−x​   C. 1−2x1+2x\displaystyle \frac{1-2x}{1+2x}1+2x1−2x​   D. 1+2x1−2x\displaystyle \frac{1+2x}{1-2x}1−2x1+2x​
2. lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡2x=\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin3x}{\tan2x}=x→0lim​tan2xsin3x​=(  )。
   A. 333   B. 32\displaystyle \frac{3}{2}23​   C. 12\displaystyle \frac{1}{2}21​   D. 111
3. 设0≤b≤10\leq b \leq 10≤b≤1，证明不等式(1+b3976)1988<(1+b3978)1989\left(1+\frac{b}{3976}\right)^{1988}<\left(1+\frac{b}{3978}\right)^{1989}(1+3976b​)1988<(1+3978b​)1989
4. 求和：Sn=arctan1+arctan13+arctan17+⋯+arctan11+n+n2(n=0,1,2,3,⋯)\displaystyle S_n=\mathrm{arctan}1+\mathrm{arctan}{\frac{1}{3}}+\mathrm{arctan}{\frac{1}{7}}+\cdots+\mathrm{arctan}{\frac{1}{1+n+n^2}}\quad(n=0,1,2,3,\cdots)Sn​=arctan1+arctan31​+arctan71​+⋯+arctan1+n+n21​(n=0,1,2,3,⋯)
5. P(H∣X)=P(X∣H)P(H)P(X)P(H|X)=\frac{P(X|H)P(H)}{P(X)}P(H∣X)=P(X)P(X∣H)P(H)​
6. P(X∣H)=0.85,P(H)=0.001,P(X)=0.4P(X|H)=0.85, P(H)=0.001, P(X)=0.4P(X∣H)=0.85,P(H)=0.001,P(X)=0.4
7. P(H∣X)=P(X∣H)P(H)P(X)=0.85∗0.0010.4=0.000215=0.0215%\displaystyle P(H|X)=\frac{P(X|H)P(H)}{P(X)}=\frac{0.85*0.001}{0.4}=0.000215=0.0215\%P(H∣X)=P(X)P(X∣H)P(H)​=0.40.85∗0.001​=0.000215=0.0215%
8. P(X∣H)P(H)P(X)=P(H∣X)\displaystyle P(X|H)\frac{P(H)}{P(X)}=P(H|X)P(X∣H)P(X)P(H)​=P(H∣X)
9. P(H1)P(H2)⋅P(X∣H1)P(X∣H2)=P(H1∣X)P(H2∣X)\displaystyle \frac{P(H_1)}{P(H_2)}\cdot\frac{P(X|H_1)}{P(X|H_2)}=\frac{P(H_1|X)}{P(H_2|X)}P(H2​)P(H1​)​⋅P(X∣H2​)P(X∣H1​)​=P(H2​∣X)P(H1​∣X)​
10. P(H1∣X)P(H2∣X)=P(X∣H1)P(H1)P(X)P(X∣H2)P(H2)P(X)=P(X∣H1)P(H1)P(X∣H2)P(H2)=P(X∣H1)P(X∣H2)⋅P(H1P(H2)\displaystyle \frac{P(H_1|X)}{P(H_2|X)}=\frac{P(X|H_1)\displaystyle \frac{P(H_1)}{P(X)}}{P(X|H_2)\displaystyle \frac{P(H_2)}{P(X)}}=\frac{P(X|H_1)P(H_1)}{P(X|H_2)P(H_2)}=\frac{P(X|H_1)}{P(X|H_2)}\cdot\frac{P(H_1}{P(H_2)}P(H2​∣X)P(H1​∣X)​=P(X∣H2​)P(X)P(H2​)​P(X∣H1​)P(X)P(H1​)​​=P(X∣H2​)P(H2​)P(X∣H1​)P(H1​)​=P(X∣H2​)P(X∣H1​)​⋅P(H2​)P(H1​​
11. ∵P(H1∣X)P(H2∣X)=P(H1)P(H2)⋅P(X∣H1)P(X∣H2)=75%25%⋅90%30%=9:1\displaystyle \because\frac{P(H_1|X)}{P(H_2|X)}=\frac{P(H_1)}{P(H_2)}\cdot\frac{P(X|H_1)}{P(X|H_2)}=\frac{75\%}{25\%}\cdot\frac{90\%}{30\%}=9:1∵P(H2​∣X)P(H1​∣X)​=P(H2​)P(H1​)​⋅P(X∣H2​)P(X∣H1​)​=25%75%​⋅30%90%​=9:1
12. P(H1∣X)+P(H2∣X)=1P(H_1|X)+P(H_2|X)=1P(H1​∣X)+P(H2​∣X)=1
13. ∴P(H1∣X)=99+1=0.9=90%\displaystyle \therefore P(H1|X)=\frac{9}{9+1}=0.9=90\%∴P(H1∣X)=9+19​=0.9=90%
14. P(X∣Ci)=∑k=1np(Xk∣Ci)\displaystyle P(X|C_i)=\sum_{k=1}^{n} p(X_k|C_i)P(X∣Ci​)=k=1∑n​p(Xk​∣Ci​)
15. P(HD=Yes∣BP=Yes,D=Yes,E=Yes)=[P(BP=Yes∣HD=Yes,D=Yes,E=Yes)P(BP=Yes∣D=Yes,E=Yes)]×P(HD=Yes∣D=Yes,E=Yes)=P(BP=Yes∣HD=Yes)P(HD=Yes∣D=Yes,E=Yes)∑γP(BP=Yes∣HD=γ)P(HD=γ∣D=Yes,E=Yes)=0.85×0.250.85×0.25+0.2×0.75=0.5862\begin{alignedat}{5} &P(HD=Yes|BP=Yes,D=Yes,E=Yes)\\ &=[\frac{P(BP=Yes|HD=Yes,D=Yes,E=Yes)}{P(BP=Yes|D=Yes,E=Yes)}] \times P(HD=Yes|D=Yes,E=Yes)\\ &=\frac{P(BP=Yes|HD=Yes)P(HD=Yes|D=Yes,E=Yes)}{\sum_\gamma P(BP=Yes|HD=\gamma)P(HD=\gamma|D=Yes,E=Yes)}\\ &=\frac{0.85\times0.25}{0.85\times0.25+0.2\times0.75}\\ &=0.5862\\ \end{alignedat}​P(HD=Yes∣BP=Yes,D=Yes,E=Yes)=[P(BP=Yes∣D=Yes,E=Yes)P(BP=Yes∣HD=Yes,D=Yes,E=Yes)​]×P(HD=Yes∣D=Yes,E=Yes)=∑γ​P(BP=Yes∣HD=γ)P(HD=γ∣D=Yes,E=Yes)P(BP=Yes∣HD=Yes)P(HD=Yes∣D=Yes,E=Yes)​=0.85×0.25+0.2×0.750.85×0.25​=0.5862​
16. E(Xk)=ak(θ1,θ2,⋯,θm),k=1,2,⋯,mE(X_k)=a_k(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_m),k=1,2,\cdots,mE(Xk​)=ak​(θ1​,θ2​,⋯,θm​),k=1,2,⋯,m
17. Ak=1n∑i=1nXik,k=1,2,⋯,m\displaystyle A_k=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X^k_i,k=1,2,\cdots,mAk​=n1​i=1∑n​Xik​,k=1,2,⋯,m
18. ak(θ1,θ2,...,θm)=E(Xk)=1n∑i=1nXik,k=1,2,..,m\displaystyle a_k(\theta_1,\theta_2,...,\theta_m)=E(X_k)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X^k_i,k=1,2,..,mak​(θ1​,θ2​,...,θm​)=E(Xk​)=n1​i=1∑n​Xik​,k=1,2,..,m
19. F(x;μ,σ)=1σ2π∫−∞xe−(x−μ)22σ2dt\displaystyle F(x;\mu,\sigma)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dtF(x;μ,σ)=σ2π​1​∫−∞x​e−2σ2(x−μ)2​dt
20. f(x)=12πσe−(t−μ)22σ2\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2π​σ1​e−2σ2(t−μ)2​
21. L(μ,σ2;x)=∏i=1nf(xi;μ,σ2)=(2πσ2)−n2e−12σ2∑i=1n(xi−μ)2\displaystyle L(\mu,\sigma^2;x)=\prod^n_{i=1}f(x_i;\mu,\sigma^2)=(2\pi\sigma^2)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2}L(μ,σ2;x)=i=1∏n​f(xi​;μ,σ2)=(2πσ2)−2n​e−2σ21​∑i=1n​(xi​−μ)2

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