信息学奥赛一本通 1939：【07NOIP普及组】纪念品分组

【题目链接】

ybt 1939：【07NOIP普及组】纪念品分组
洛谷 P1094 [NOIP2007 普及组] 纪念品分组

【题目考点】

1. 贪心

【解题思路】

贪心选择：选择价格最小的和最大的纪念品分成一组，若价格最小的和最大的纪念品无法
分成一组，那么价格最大的纪念品单独一组。

将问题抽象为：有n个数字，要凑成加和小于等于w的组，一组可以有2个数或1个数，最少可以凑多少组。

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：
如果最大值加最小值大于w，那么最大值单独一组。
如果最大值加最小值小于等于w，最大最小值凑成一组。

证明：存在最优解包含第一次贪心选择

如果第一次选择的组只有最大值，由于最大值无法和其他数字凑成一组，最大值单独一组是唯一的选择。
如果第一次的贪心选择是最大最小值构成的一组。设最大值为lll，最小值为ggg，那么一定有：l+g≤wl+g\le wl+g≤w
假设对于所有最优解，都不包含第一次的贪心选择，也就是说lll和ggg不会分为一组。
lll可以有以下几种情况

lll单独一组：无论ggg与另一个数字一组，还是ggg单独一组，都可以让ggg更改为与lll一组。

lll与另一个数字xxx一组，那么有l+x≤wl+x\le wl+x≤w。
假设此时ggg单独一组，那么可以让ggg与xxx交换，得到lll与ggg一组。
假设此时ggg与另一个数字hhh一组，那么有h+g≤wh+g\le wh+g≤w
由于lll是当时的最大值，那么一定有h≤lh\le lh≤l，所以有h+x≤l+x≤wh+x\le l+x\le wh+x≤l+x≤w，hhh与xxx一组加和并不会超过www。将ggg与xxx交换，lll与ggg一组，hhh与xxx一组，是可行的。
无论什么情况，都可以通过交换使得lll与ggg一组，这样做分组数量不会增加，该方案仍然是最优解，最优解中包含了贪心选择，与假设相悖，原命题得证。

证明：进行k次贪心选择后，存在最优解包含第k+1次的贪心选择。

证明方法与证明第1点相似，不再赘述。

2.具体做法：

对所有纪念品按升序排序，设l，r两个指针指向当前看到的价格最小和最大的纪念品。

如果第l和第r个纪念品的价格加和大于w，那么第l纪念品单独一组，l加1。
如果第l和第r个纪念品的价格加和小于等于w，那么第l和第r纪念品分为一组，l和r都加1。

【题解代码】

解法1：贪心

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 30005
int main()
{int p[N], w, n, ct = 0;//ct:组数cin >> w >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> p[i];sort(p+1, p+1+n);int l = 1, r = n;while(l <= r){if(l != r && p[l] + p[r] <= w){l++;r--;ct++;//l, r凑一组}else{r--;ct++;//r自己凑一组 }}cout << ct;return 0;
}

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