题目

有\(N\)个未知数\(x[1..n]\)和\(N\)个等式组成的同余方程组：
\(x[i]=k[i]*x[p[i]]+b[i] mod 10007\)
其中，\(k[i],b[i],x[i]∈[0,10007)∩Z\)
你要应付\(Q\)个事务，每个是两种情况之一：
一.询问当前\(x[a]\)的解
\(A\ a\)
无解输出-1
\(x[a]\)有多解输出-2
否则输出\(x[a]\)
二.修改一个等式
\(C\ a\ k[a]\ p[a]\ b[a]\)

思路¹

此题一直有点迷，在paulliant大佬的指点下，勉强口胡一份题解。

首先不难发现，这是一个树形结构，每个点仅有一条有向出边，知道了每个点的父亲就能知道这个点，所以这是一棵基环树，然后我们用一个结构体表示当前点与它父亲的依赖关系。\((K,B)\)表示\(x=fa[x]*K+B\)

由于是单向边的有根树，所以每条边都指向它的父亲。所以对于LCT中的一条路径\((u,v)\)来说，\(sum[rt]=(node){K,B}\)表示\(u=Kv+B\)，合并什么的还是很好推的。

还有一题小R与手机和此题有几分相像。

struct node{int k,b;node operator + (const node& res)const{return (node){k*res.k%P,(res.k*b%P+res.b)%P};}
}

然后如果存在了环的话，可以先把它存下来，等之后有点被删掉了之后在加上去。之后询问的时候由于形成了环，所以就可以得到解的情况了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
using namespace std;
const int P=1e4+7;
int inv[M],Ifa[M];
int n;
struct node{int k,b;node operator + (const node& res)const{return (node){k*res.k%P,(res.k*b%P+res.b)%P};}
}val[M],sum[M];
struct LCT{int ch[M][2],fa[M];void up(int p){sum[p]=sum[ch[p][0]]+val[p]+sum[ch[p][1]];}void create(int x,node d){ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=0;val[x]=sum[x]=d;}bool isrt(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}void rotate(int x){int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][1]==x;if(!isrt(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;fa[x]=z;ch[y][k]=ch[x][!k];fa[ch[x][!k]]=y;ch[x][!k]=y;fa[y]=x;up(y);up(x);}void splay(int x){while(!isrt(x)){int y=fa[x],z=fa[y];if(!isrt(y))(ch[y][1]==x^ch[z][1]==y)?rotate(x):rotate(y);rotate(x);}}void access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])splay(x),ch[x][1]=y,up(x);}int findrt(int x){access(x);splay(x);while(ch[x][0])x=ch[x][0];splay(x);return x;}bool link(int x,int y){splay(x);if(findrt(y)==x)return 0;fa[x]=y;return 1;}bool cut(int x){access(x),splay(x);if(!ch[x][0])return 0;fa[ch[x][0]]=0;ch[x][0]=0;up(x);return 1;}void update(int x,node d){val[x]=sum[x]=d;up(x);splay(x);}node query(int x){access(x),splay(x);return sum[x];}void Link(int x,int y){if(!link(x,y))Ifa[x]=y;}void Cut(int x){int y=findrt(x);if(!cut(x)){Ifa[x]=0;return;}if(link(y,Ifa[y]))Ifa[y]=0;}int solve(int x){int y=findrt(x),z=Ifa[y];node f=query(z);if(f.k==1)return f.b==0?-2:-1;int vl=f.b*inv[(P+1-f.k)%P]%P;f=query(x);return (f.k*vl+f.b)%P;}
}Tr;
int main(){inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=P-1;i++)inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<=n;i++)Tr.create(i,(node){1,0});for(int i=1;i<=n;i++){int k,p,b;scanf("%d%d%d",&k,&p,&b);Tr.update(i,(node){k,b});Tr.Link(i,p);}int q;scanf("%d",&q);while(q--){char op[5];int a,k,p,b;scanf("%s",op);if(op[0]=='A'){scanf("%d",&a);printf("%d\n",Tr.solve(a));}else {scanf("%d%d%d%d",&a,&k,&p,&b);Tr.update(a,(node){k,b});Tr.Cut(a);Tr.Link(a,p);}}return 0;
}

1. [BZOJ 2759 一个动态树好题（动态树）]↩