堆

堆的概念

堆的性质

堆的创建

1、堆向下调整

2、堆的创建

3、建堆的时间复杂度

堆的插入和删除

1、堆的插入

2、堆的删除

堆的应用

1、优先级队列的实现

2、堆排序

3、Top-k问题

堆（Heap）

堆的概念

前面介绍的优先级队列在JDK1.8中其底层使用了堆的数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础之上进行了一些元素的调整。

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >=K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。（即双亲比孩子的数值小(大)——小(大)堆）将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

下面来看一下堆的可视化操作堆的可视化操作https://visualgo.net/zh/heap

堆的创建

1、堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？

仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)

2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size，进行以下操作，直到parent的左孩子不存在

parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标记
将parent与较小的孩子child比较，如果：parent小于较小的孩子child，调整结束。否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续2。

public void shiftDown(int[] array, int parent) {// child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右int child = 2 * parent + 1;int size = array.length;while (child < size) {// 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){child += 1;}// 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了if (array[parent] <= array[child]) {break;}else{// 将双亲与较小的孩子交换int t = array[parent];array[parent] = array[child];array[child] = t;// parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整parent = child;child = parent * 2 + 1;}}
}

注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析：

最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为O(log₂N)

2、堆的创建

那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？

public static void createHeap(int[] array) {// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整for(int root = (array.length-2)/2; root >= 0; root--){shiftDown(array, array.length, root);}
}

3、建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)

堆的插入和删除

1、堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质

public void shiftUp(int child) {// 找到child的双亲int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {// 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束if (array[parent] > array[child]) {break;}else{// 将双亲与孩子节点进行交换int t = array[parent];array[parent] = array[child];array[child] = t;// 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增child = parent;parent = (child - 1) / 2;}}
}

2、堆的删除

堆的删除一定删除的是堆顶元素。

堆的删除步骤如下：

将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
将堆中有效数据个数减少一个
对堆顶元素进行向下调整

public static void shiftDown(int[] array, int size, int parent){int child = parent*2+1;while(child < size){// 找左右孩子中较大的孩子if(child+1 < size && array[child+1] > array[child]){child += 1;}// 双亲小于交大的孩子if(array[parent] < array[child]){swap(array, parent, child);parent = child;child = parent*2+1;}else{return;}}
}

堆的应用

1、优先级队列的实现

用堆作为底层结构封装优先级队列

public class MyPriorityQueue {Integer[] array;int size;   // 有效元素的个数public MyPriorityQueue(){array = new Integer[11];size = 0;}public MyPriorityQueue(int initCapacity){if(initCapacity < 1){throw new IllegalArgumentException("初始容量小于1");}array = new Integer[initCapacity];size = 0;}public MyPriorityQueue(Integer[] arr){// 1. 将arr中的元素拷贝到数组中array = new Integer[arr.length];for(int i = 0; i < arr.length; ++i){array[i] = arr[i];}size = arr.length;// 2. 找当前完全二叉树中倒数第一个叶子节点//    注意：倒数第一个叶子节点刚好是最后一个节点的双亲//    最后一个节点的编号size-1  倒数第一个非叶子节点的下标为(size-1-1)/2int lastLeafParent = (size-2)/2;// 3. 从倒数第一个叶子节点位置开始，一直到根节点的位置，使用向下调整for(int root = lastLeafParent; root >= 0; root--){shiftDown(root);}}boolean offer(Integer e){if(e == null){throw new NullPointerException("插入时候元素为null");}ensureCapacity();array[size++] = e;// 注意：当新元素插入之后，可能会破坏对的性质---需要向上调整shiftUp(size-1);return true;}// 将堆顶的元素删除掉public Integer poll(){if(isEmpty()){return null;}Integer ret = array[0];// 1. 将堆顶元素与堆中最后一个元素交换swap(0, size-1);// 2. 将堆中有效元素个数减少一个size--;  // size -= 1;// 3. 将堆顶元素往下调整到合适位置shiftDown(0);return ret;}public int size(){return size;}public boolean isEmpty(){return size == 0;}public void clear(){size = 0;}// 功能：调整以parent为根的二叉树//    前提：必须要保证parent的左右子树已经满足堆的特性// 时间复杂度：O(logN)private void shiftDown(int parent){// 默认让child先标记左孩子---因为：parent可能有左没有右int child = parent*2 + 1;// while循环条件可以保证：parent的左孩子一定存在//       但是不能保证parent的右孩子是否存在while(child < size){// 1. 找到左右孩子中较小的孩子if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){child += 1;}// 2. 较小的孩子已经找到了//    检测双亲和孩子间是否满足堆的特性if(array[parent] > array[child]){swap(parent, child);// 大的双亲往下走了，可能会导致子树又不满足堆的特性// 因此需要继续往下调整parent = child;child = parent*2 + 1;}else{// 以parent为根的二叉树已经是堆了return;}}}private void shiftUp(int child){int parent = (child-1)/2;while(child != 0){if(array[child] < array[parent]){swap(child, parent);child = parent;parent = (child-1)/2;}else{return;}}}private void ensureCapacity(){if(array.length == size){int newCapacity = array.length*2;array = Arrays.copyOf(array, newCapacity);}}// 注意：left和right是数组的下标private void swap(int left, int right){int temp = array[left];array[left] = array[right];array[right] = temp;}

2、堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆
降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序

public static void swap(int[] array, int left, int right){int temp = array[left];array[left] = array[right];array[right] = temp;}public static void shiftDown(int[] array, int size, int parent){int child = parent*2+1;while(child < size){// 找左右孩子中较大的孩子if(child+1 < size && array[child+1] > array[child]){child += 1;}// 双亲小于交大的孩子if(array[parent] < array[child]){swap(array, parent, child);parent = child;child = parent*2+1;}else{return;}}}// 假设：升序public static void heapSort(int[] array){// 1. 建堆----升序：大堆    降序：小堆---向下调整for(int root = (array.length-2)/2; root >= 0; root--){shiftDown(array, array.length, root);}// 2. 利用堆删除的思想来排序---向下调整int end = array.length-1;   // end标记最后一个元素while(end != 0){swap(array,0,end);shiftDown(array, end,0);end--;}}

3、Top-k问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

Top-k问题

class Solution {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {int[] vec = new int[k];if (k == 0) { // 排除 0 的情况return vec;}PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<Integer>(new Comparator<Integer>() {public int compare(Integer num1, Integer num2) {return num2 - num1;}});for (int i = 0; i < k; ++i) {queue.offer(arr[i]);}for (int i = k; i < arr.length; ++i) {if (queue.peek() > arr[i]) {queue.poll();queue.offer(arr[i]);}}for (int i = 0; i < k; ++i) {vec[i] = queue.poll();}return vec;}
}

复杂度分析

时间复杂度：O(nlog k)，其中 n 是数组 arr 的长度。由于大根堆实时维护前 k 小值，所以插入删除都是O(logk) 的时间复杂度，最坏情况下数组里 n 个数都会插入，所以一共需要 O(nlogk) 的时间复杂度。

空间复杂度：O(k)，因为大根堆里最多 k 个数

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