读杨睿之之《作为哲学的数理逻辑》

杨睿之. 作为哲学的数理逻辑. ISBN: 978-7-309-12658-7

这是一本讲数理逻辑，顺便讲了讲分析哲学的书。书中第一章回顾了数理逻辑和分析哲学的发展历程，从二者的诞生与联合，讲到了二者的分道扬镳，然后又讲到了现在。数理逻辑和早期的分析哲学致力于为人类语言建议一种理想的统一框架。但这个宏伟计划被一再证明是不可能完成的。当哥德尔不完备性定理被证明后，分析哲学和数理逻辑走上了各自的发展道路。分析哲学中后期转向了自然语言哲学。自然语言哲学指出了早期理想语言分析哲学的缺陷，并提倡回归自然语言，认为自然语言本身的意义就是明确的，不需要特别澄清。但自然语言转向后的分析哲学，越来越像一个口号。只是单纯强调其主张，很少去探讨自然语言这些自明的结构或意义到底有怎样的细节。从这个角度来看，自然语言转向后的分析哲学其实是对早期分析哲学的一种偏离。近来虽然有一些改变分析哲学现状的尝试，但重新重视数理逻辑的选项似乎并不在其中。

而数理逻辑的发展则要务实得多。虽然数理逻辑上个世纪后半页的产出并没有满足人们狂热的期望，但是产出却不可谓不多。这本书接下来的三章就对哥德尔不完备性定理之后的数理逻辑重要进展做了大致的介绍。

书中第二章介绍的是递归论的发展。递归论在完成了对“计算”的建模之后，递归论的一大进展就是对“随机”的刻画。据书中的介绍，“随机”和“变动”、“不确定”似乎并不能划等号。例如现在问读者圆周率的第 1000 位。这个数显然是个常数，但由于大部分读者没有算过，所以不知道这个数。此时如果读者猜一个数，那么对于读者来说这个数就是随机的，猜对的概率则是十分之一。所以，随机不一定是客观上不确定的，而是对于观测者来说凭借已有信息计算不出来的。

第三章是对模型论的介绍。在对 ZFC 系统进行研究后，人们提出了一系列的模型。对这些模型的系统化研究构成了模型论目前的主要内容。模型之间则通过相对一致性进行进行关联。这样，就建立了一种以模型为基本元素的代数。在此基础上，本书第三章还稍微介绍了脱殊扩张和力迫法。

第四章讲的是集合论。集合论主要探讨集合公理的选择及其后果。这本书中讲的集合论主要是一些与大基数相关的研究。需要注意的是，这里的大基数不是有限上的大，而是在比较无穷基数时仍然比较大的基数。

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