深度学习：Softmax回归

在前面，我们介绍了线性回归模型的原理及实现。线性回归适合于预测连续值，而对于分类问题的离散值则束手无策。因此引出了本文所要介绍的softmax回归模型，该模型是针对多分类问题所提出的。下面我们将从softmax回归模型的原理开始介绍，最后我们同样会基于PyTorch来实现基本的softmax模型。

1、分类问题

假设现在我们需要对图像进行分类，每次输入的数据是一个2x2的灰度图像。如果用一个标量来表示每个像素值，则每个图像可以对应x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4x1,x2,x3,x4四个特征，因此可以用一个特征向量(x1,x2,x3,x4)(x_1,x_2,x_3,x_4)(x1,x2,x3,x4)来表示图像。

另外，假设每个图像属于类别“猫”，“鸡”和“狗”其中一个，那么我们可以使用独热编码（one-hot encoding）来表示分类数据。例如标签yyy是一个三维向量，其中[1,0,0]对应“猫”类别、[0,1,0]对应“鸡”类别、[0,0,1]对应“狗”类别：
y∈{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.(1)y\in\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.\tag{1} y∈{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.(1)

2、模型网络架构

在分类问题中，我们需要估计一张图像对于所有类别的条件概率，每一个类别对应则一个输出，则该模型是一个具有n个输入和m个输出的回归模型（n是图像的特征向量长度，m是类别数量）。

在上面的例子中，我们有4个输入特征和3个可能的输出类别，因此我们需要12个标量来表示权重（w），3个标量来表示偏置（b），计算每个类别未规范化的条件概率：
o1=x1w11+x2w12+x3w13+x4w14+b1o2=x1w21+x2w22+x3w23+x4w24+b2o3=x1w31+x2w32+x3w33+x4w34+b3.(2)o_1=x_1w_{11}+x_2w_{12}+x_3w_{13}+x_4w_{14}+b_1 \\ o_2=x_1w_{21}+x_2w_{22}+x_3w_{23}+x_4w_{24}+b_2 \\ o_3=x_1w_{31}+x_2w_{32}+x_3w_{33}+x_4w_{34}+b_3 .\tag{2} o1=x1w11+x2w12+x3w13+x4w14+b1o2=x1w21+x2w22+x3w23+x4w24+b2o3=x1w31+x2w32+x3w33+x4w34+b3.(2)
（2）中的o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1,o2,o3就是图像对于所有类别的条件概率，只不过此时还没有对概率进行规范化，还不能符合我们的要求（所有类别的条件概率之和为1）。

我们用矩阵形式来表示 x,W,b,ox,W,b,ox,W,b,o：
x=[x1x2x3x4]W=[w11w12w13w14w21w22w23w24w31w32w33w34]b=[b1b2b3]o=[o1o2o3].(3)x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{bmatrix}\\\ \\W=\begin{bmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14}\\ w_{21} & w_{22} & w_{23} & w_{24}\\ w_{31} & w_{32} & w_{33} & w_{34}\\ \end{bmatrix} \,\,\,\,\,\,b=\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}\\\ \\o=\begin{bmatrix} o_1 & o_2 & o_3 \end{bmatrix} .\tag{3} x=[x1x2x3x4] W=⎣⎡w11w21w31w12w22w32w13w23w33w14w24w34⎦⎤b=[b1b2b3] o=[o1o2o3].(3)
则（2）可以表示为：
o=xWT+b.(4)o=xW^T+b.\tag{4} o=xWT+b.(4)
我们还可以用神经网络图（图1）来表示softmax回归模型。与线性回归一样，softmax回归也是单层的神经网络。由于每个输出o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1,o2,o3都依赖于所有的输入x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4x1,x2,x3,x4，因此softmax回归的输出层还是一个全连接层。

图1：softmax回归的神经网络图

3、softmax运算

在上面，我们由权重与输⼊特征进⾏矩阵-向量乘法再加上偏置b得到的输出o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1,o2,o3。为了获取最终的预测结果，我们使用arg⁡max⁡joj\arg\underset{j}{\max}o_jargjmaxoj来选择最大的输出ojo_joj作为预测概率。然而，直接将线性层的输出视为概率时存在⼀些问题：一方面，我们没有限制这些输出值的总和为1。另⼀方面，根据输入的不同，输出值甚至可能为负值。

为了解决上述问题，社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明了softmax函数。 softmax函数将未规范化的预测值变换为非负并且总和为1的概率值，同时保证模型可导。我们⾸先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
y^=softmax(o)其中yj^=exp(oj)∑k=1qexp(ok).(5)\hat{y}=softmax(o)\,\,\,\,\,\,其中\,\,\hat{y_j}=\frac{exp(o_j)}{\sum_{k=1}^{q}exp(o_k)}.\tag{5} y^=softmax(o)其中yj^=∑k=1qexp(ok)exp(oj).(5)
这⾥，对于所有的jjj总有0≤yj^≤10 ≤ \hat{y_j} ≤ 10≤yj^≤1。因此，$\hat{y_j} 可以视为⼀个正确的概率分布。softmax运算并不会改变未规范化的预测可以视为⼀个正确的概率分布。softmax运算并不会改变未规范化的预测可以视为⼀个正确的概率分布。softmax运算并不会改变未规范化的预测o$之间大小的顺序，只会将每个类别的预测值转换概率值。因此，在预测过程中，我们可以用下式来选择输入图像最有可能的类别：
arg⁡max⁡jyj^=arg⁡max⁡joj.(6)\arg\underset{j}{\max}\hat{y_j}=\arg\underset{j}{\max}o_j.\tag{6} argjmaxyj^=argjmaxoj.(6)
尽管softmax是⼀个⾮线性函数，但softmax回归的输出仍然由输⼊特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是⼀个线性模型（linear model）。

4、小批量样本的矢量化

为了提⾼计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。假设我们读取了⼀个批量的样本XXX，其中特征维度（输⼊数量）为d，批量大小为n。此外，假设我们在输出中有q个类别。那么小批量样本的特征为X∈Rn×dX\in\R^{n×d}X∈Rn×d，权重为W∈Rd×qW\in\R^{d×q}W∈Rd×q，偏置为b∈R1×qb\in\R^{1×q}b∈R1×q。softmax回归的小批量样本的⽮量计算表达式为：
O=XWT+bY^=softmax(O).(7)O=XW^T+b\\ \hat{Y}=softmax(O).\tag{7} O=XWT+bY^=softmax(O).(7)

5、损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来评估预测的效果。由于在softmax回归中，我们只关心正确类别的预测概率，而不需要像线性回归那么精确地预测数值，因此我们使用交叉熵损失函数来评估模型的预测效果：
l(y,y^)=−∑j=1qyjlogyj^.(8)l(y,\hat{y})=-\sum_{j=1}^{q}{y_j}log\,{\hat{y_j}}.\tag{8} l(y,y^)=−j=1∑qyjlogyj^.(8)
又因为正确标签向量yyy中只有一个标量为1，其余全为0，因此（8）可化简为：
l(y,y^)=−logyj^.(9)l(y,\hat{y})=-log\,\hat{y_j}.\tag{9} l(y,y^)=−logyj^.(9)
为了使（8）更好做偏导计算，我们将（5）代入（8）中：
l(y,y^)=−∑j=1qyjlogexp(oj)∑k=1qexp(ok)=∑j=1qyjlog∑k=1qexp(ok)−∑j=1qyjoj=log∑k=1qexp(ok)−∑j=1qyjoj.(10)l(y,\hat{y})=-\sum_{j=1}^{q}y_jlog\,\frac{exp(o_j)}{\sum_{k=1}^{q}exp(o_k)}\\ \qquad\qquad\quad=\sum_{j=1}^{q}y_jlog\,\sum_{k=1}^qexp(o_k)-\sum_{j=1}^qy_jo_j\\ \qquad\quad=log\sum_{k=1}^qexp(o_k)-\sum_{j=1}^qy_jo_j.\tag{10} l(y,y^)=−j=1∑qyjlog∑k=1qexp(ok)exp(oj)=j=1∑qyjlogk=1∑qexp(ok)−j=1∑qyjoj=logk=1∑qexp(ok)−j=1∑qyjoj.(10)

6、参数更新

我们对交叉熵损失函数（10）求导，获取l(y,y^)l(y,\hat{y})l(y,y^)关于ojo_joj的梯度：
∂ojl(y,y^)=exp(oj)∑k=1qexp(ok)−yj=softmax(o)j−yj.(11)\partial_{o_j}\,l(y,\hat{y})=\frac{exp(o_j)}{\sum_{k=1}^{q}exp(o_k)}-y_j\\ \qquad\qquad=softmax(o)_j-y_j.\tag{11} ∂ojl(y,y^)=∑k=1qexp(ok)exp(oj)−yj=softmax(o)j−yj.(11)

然后采用梯度下降法，softmax回归的训练过程为：采用正态分布来初始化权重WWW，然后通过下式进行迭代更新：
Wt+1←Wt−α[1N∑n=1N(softmax(o)j−yj)].(12)W_{t+1}←W_t-\alpha[\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(softmax(o)_j-y_j)].\tag{12} Wt+1←Wt−α[N1n=1∑N(softmax(o)j−yj)].(12)

7、实现softmax回归模型

7.1、读取数据集

在本节中，我们用softmax回归来实现图像识别。在此之前，我们先下载Fashion-MNIST数据集。

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2ld2l.use_svg_display()

通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/data", train=False, transform=trans, download=True)

Fashion-MNIST由10个类别的图像组成，每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像。测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。

len(mnist_train), len(mnist_test)

每个输入图像的高度和宽度均为28像素。数据集由灰度图像组成，其通道数为1。

mnist_train[0][0].shape

Fashion-MNIST中包含的10个类别，分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save"""返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat','sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']return [text_labels[int(i)] for i in labels]

创建一个函数来可视化这些样本。

def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save"""绘制图像列表"""figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)_, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)axes = axes.flatten()for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):if torch.is_tensor(img):# 图片张量ax.imshow(img.numpy())else:# PIL图片ax.imshow(img)ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)if titles:ax.set_title(titles[i])return axes

我们将一个小批量的数据集可视化出来看看。

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=15)))
show_images(X.reshape(15, 28, 28), 3, 5, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

为了使我们在读取训练集和测试集时更容易，我们使用内置的数据迭代器，而不是从零开始创建。回顾一下，在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size。通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱了所有样本，从而无偏见地读取小批量，并通过多线程来读取数据。

batch_size = 256def get_dataloader_workers():  #@save"""使用4个进程来读取数据"""return 4train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers())

读取一个小批量数据集所需的时间：

timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

为了方便使用，我们将上述的代码整合为一个函数。

# 整合上述所有组件
def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save"""下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))

随后，我们使用load_data_fashion_mnist来读取数据集，并通过resize参数调整图像的尺寸。

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=28)
for X, y in train_iter:print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)break
for X,y in test_iter:print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)break

7.2、从零实现softmax回归

本节我们将使用刚刚在6.1节中引入的Fashion-MNIST数据集，并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2lbatch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

7.2.1、初始化参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。又因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。因此，权重将构成一个784×10的矩阵，偏置将构成一个1×10的行向量。与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

7.2.2、定义softmax激活函数

回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

对每个项求幂（使用exp）；
对每一行求和（小批量中每个样本是一行）；
将每项除以所属行的和，确保结果的和为1。

softmax的公式定义：

实现如下：

def softmax(X):X_exp = torch.exp(X)partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

我们来验证一下softmax激活函数的效果：

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X, X_prob, X_prob.sum(1)

7.2.3、定义模型

定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

7.2.4、定义损失函数

在softmax回归中，我们只关心正确类别预测的概率，因此我们需要将正确类别的预测概率提取出来参与损失函数计算。

为了加快计算速度，我们使用y作为y_hat中概率的索引来提取正确类别的预测概率，而不会考虑使用for循环这种低效的方式。

y = torch.tensor([0, 2]) # 真实的标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])   # 预测的概率
y_hat[[0, 1], y]

因此我们可以很便捷地实现交叉熵损失函数：

def cross_entropy(y_hat, y):return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])cross_entropy(y_hat, y)

7.2.5、评估分类精度

在实际预测时，我们必须输出最终的预测类别。为了计算分类的精度，首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。由于等式运算符“==”对数据类型很敏感，因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。最后，我们求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save"""计算预测正确的数量"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())

评估一下分类的精度：

accuracy(y_hat, y) / len(y)

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集，我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save"""计算在指定数据集上模型的精度"""if isinstance(net, torch.nn.Module):net.eval()  # 将模型设置为评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数with torch.no_grad():for X, y in data_iter:metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())return metric[0] / metric[1]

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。在上面的evaluate_accuracy函数中，我们在Accumulator实例中创建了2个变量，分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save"""在n个变量上累加"""def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def reset(self):self.data = [0.0] * len(self.data)def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]

7.2.6、训练模型

首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save"""训练模型一个迭代周期"""# 将模型设置为训练模式if isinstance(net, torch.nn.Module):net.train()# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数metric = Accumulator(3)for X, y in train_iter:# 计算梯度并更新参数y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数updater.zero_grad()l.mean().backward()updater.step()else:# 使用定制的优化器和损失函数l.sum().backward()updater(X.shape[0])metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())# 返回训练损失和训练精度return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

然后我们再定义一个Animator函数来可视化训练的过程：

class Animator:  #@save"""在动画中绘制数据"""def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,figsize=(3.5, 2.5)):# 增量地绘制多条线if legend is None:legend = []d2l.use_svg_display()self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)if nrows * ncols == 1:self.axes = [self.axes, ]# 使用lambda函数捕获参数self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmtsdef add(self, x, y):# 向图表中添加多个数据点if not hasattr(y, "__len__"):y = [y]n = len(y)if not hasattr(x, "__len__"):x = [x] * nif not self.X:self.X = [[] for _ in range(n)]if not self.Y:self.Y = [[] for _ in range(n)]for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):if a is not None and b is not None:self.X[i].append(a)self.Y[i].append(b)self.axes[0].cla()for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):self.axes[0].plot(x, y, fmt)self.config_axes()display.display(self.fig)display.clear_output(wait=True)

接下来我们实现一个训练函数，它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save"""训练模型"""animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])for epoch in range(num_epochs):train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))train_loss, train_acc = train_metricsassert train_loss < 0.5, train_lossassert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_accassert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

我们使用之前线性回归中所定义的小批量随机梯度下降来优化参数。其中，设置学习率lr为0.1。

lr = 0.1 # 学习率def updater(batch_size):return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，我们训练模型10个迭代周期。请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

7.2.7、预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save"""预测标签"""for X, y in test_iter:breaktrues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]d2l.show_images(X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])predict_ch3(net, test_iter, 5)

8、总结

在本文中，我们讨论了softmax回归模型的基本原理和实现方法。softmax回归适合于离散的分类，线性回归适合于预测连续的数值。

9、参考资料

1、动手学深度学习 Release2.0.0-beta0

2、softmax回归原理及损失函数

3、神经网络与深度学习_邱锡鹏

4、深度学习：线性回归模型