雷达导论PART-III.7 雷达方程

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我们第三篇的内容已经讲了有一半的章节了，“第三篇——基本原理”的章节比较多，我们再来看一下第三篇的大目录。可以看出从“第12章——距离探测”开始，每章的页数明显增加，知识量也对应增加，这些都是非常重要的内容。

今天我们将开始第13章——雷达方程。本章目录如下：

13. 雷达方程：它能告诉我们什么，不能告诉我们什么？

13.1 通用雷达方程

13.1.1 忽略因素

13.1.2 雷达方程进一步的启发

13.1.3 平均功率

13.1.4 噪声

13.1.5 目标照射时间

13.1.6 RCS

13.1.7 天线尺寸

13.1.8 波长

13.2 立体扫描的雷达方程？

13.2.1 简化推导过程

13.2.2 立体扫描方程能告诉我们什么？

13.3 RCS的波动

13.4 检测概率

13.4.1 决定一个可接受的虚警率

13.4.2 计算虚警概率

13.4.3 设定检测门限

13.4.4 确定所需的信噪比

13.4.5 计算距离

13.5 累计检测概率

13.6 总结

13.7 一些要记住的关系式

我们先回顾一下上一章得到的几个公式：

通过这几个公式可以得到积累时间tint内，接收到的目标的能量公式为

上式左边最小时，距离R可取到最大，记雷达可检测到的最小目标能量为Smin，公式变化可得到雷达的最大探测距离Rmax为：

使用峰值功率P代替平均功率，使用脉宽时间τ代替tint，可以得到单个脉冲的最大探测距离为：

注：这里原书中笔误了，将t改为τ。

雷达方程是理想化的方程，它忽略了很多因素对探测距离的影响：

大气的吸收和散射；
目标没有一直位于波束中心；
滤波效果不好，引入了额外的噪声；
目标未处于多普勒滤波器中心；
不完全积累；
环境恶劣，雷达系统性能降低等。

回答本章标题所问，雷达方程其实告诉了我们很多信息。

1）四次方根。看雷达方程右式，为了增加探测距离，我们增加或减少右式任何一项，最大探测距离的增幅都要缩水到四次方根，例如将发射功率翻了一倍，探测距离只变为原来的2的四次方根倍即1.19倍。要增加最大探测距离好难啊。。。

2）分子分母。从信噪比公式（蓝色底）中，为了增加探测距离，我们还可以看出降低等效温度Ts、降低噪声系数Fn、降低带宽B、增加积累时间可以起到和增加发射功率一样的效果。波长不用看，因为大气衰减雷达方程没有考虑。

另外，我们发现分子上只有天线有效面积其实是带平方的，因为G也与Ae成正比。假设天线时圆形或者方形的，则天线面积又与天线直径的平方成正比，故增大天线直径，可以同比例的增加探测距离，如将天线直径增大4倍，探测距离也将增大4倍。需要注意的是波束宽度与天线直径成反比（如图13-15），若想同比例增大探测距离还需注意积累时间要相同（要降低扫描速率）。关于波束宽度的知识可以回顾一下之前的文章PART-III.2。

3）RCS。两个目标RCS相差16倍，探测距离只差1倍。如果形状材质接近的两架飞机，一架飞机的体型是另一架的16倍（如固定翼无人机和大型轰炸机），雷达对它们的探测距离只差两倍。。。

接下来我们看看立体扫描，如图13-15就是立体扫描，它扫描了两个维度的角平面，再加上一个距离维度，形成了立体扫描。我们上文提到了，扫描速率与积累时间的关系，那么在立体扫描下，雷达方程如何变化呢，答案如下图所示。

这个简化的雷达方程告诉我们，在立体扫描情况下，要想提高探测距离，要从提高平均功率、天线孔径、积累时间着手。

雷达方程中由于RCS的大小一直处于波动状态，所以导致目标的探测距离也在波动，所以能不能检测到目标就成了一个概率问题。上一篇文章，我们简要介绍了检测概率、虚警概率这两个概念，现在我们来好好算一下概率。

首先引入一个概念叫单扫概率（可以理解为检测概率），说的是在给定距离上雷达波扫描过目标一次，检测到给定目标的概率。很显然距离越近概率越高，如下图所示，单扫概率为50%的距离记为R50。

那在设计雷达的时候，想要确定单扫概率为某概率的距离（如R80）等于多少，该怎么计算呢？步骤如下：

1.决定系统可接受的虚警时间。注意区分虚警率和虚警概率，虚警率(FAR)是单位时间内虚警发生的频率，它是虚警时间(记为tfa)的倒数。对于战斗机上的机载雷达，1分钟以上的虚警时间就可以接受；

2.对单个门限检测器，计算出相应的虚警概率（记为Pfa）值。虚警时间的计算公式为：

又，N=NRG×NDP

则，

如果你对这个公式比较迷惑的话，可以看看原书中对轮盘游戏的类比。PS这里坚决反对赌博哈；

3.确定积累后信噪比的平均值。其实就是检测概率和虚警概率一起计算或查表得到SNR的平均值，由于目标的RCS闪烁所以也需要运用统计原理。陈伯孝老师的《现代雷达系统分析与设计》第八章中有详细论述，这里就不展开了；

4.计算出获得这个信噪比的距离，即R80。将上一步求得的S/N以及雷达的其他参数代入下式，即可就得R80。

雷达系统设计的时候，检测阈值的设定非常重要，它直接影响了雷达的虚警率和检测概率，那么检测阈值如何设置呢：

基于噪声的统计特性（如图13-25），根据上面计算得出的虚警概率Pfa，寻找一个可将虚警概率限制在上一步计算的值内的门限。

图中黄色区域的面积就是Pfa的值。将P(V)函数对V求积分，再用1减，就可以找到对应的阈值门限VT与Pfa的关系，如下图所示（更正下图中的公式，去掉分母上的负号），通过图13-26可以很方便的找出Pfa对应的阈值门限VT；

还可根据阈值门限VT，计算得到检测概率Pd：

从上图中也可以看出检测概率（黄色面积）与虚警概率（红色面积）其实是矛盾的。

下面我们来实际计算下阈值门限怎么求，假设某雷达可以接受的虚警时间是2分钟，距离门200个，一帧积累512个脉冲，积累时间10毫秒。求VT。

根据公式：

可以求得Pfa为8.14*10^-10 。又

代入Pfa的值，可以求得

最后，我们再来总结一下雷达方程的推导和演变过程，如下图所示，这张图是原书作者总结的，非常好，展示了回波信号能量和噪声能量的公式推导过程，得到了4种形式的回波能量公式以及2种噪声能量形式。

这次更新的文章计算公式比较多，建议大家实际动笔推一推算一算。

好了，本章的扩展阅读如下：

本章的问题比较长：

1.单次扫描特定目标的检测概率为0.25。目标在16次扫描中至少被检测到一次的概率是多少?

答：先求一次都没检测到的概率，再用1减。1 – (1–0.25)^16 = 98.9977%

2. 雷达在距离R上探测到一个给定概率的目标，如果(a)发射功率翻倍; (b)天线面积翻倍; (c)目标RCS翻倍，R分别增加了多少百分比?

答：这个问题是为了增强对雷达方程的理解。

（a）18.9%；（b）41.4%；（c）18.9%

3. 一部雷达需要用波束宽度为2°的笔状波束扫描10°(俯仰) × 100°(方位)的角视场范围。问(a)需要多少个波束驻留位置? (b)如果每个波束位置的驻留时间为0.02 s，那么帧时间是多少?

答：这个首先要看是什么步进扫描方式，常见的如下图所示，我们就计算这种步进扫描方式下的。

1）波束驻留位置：2*10/2 * 2*100/2=1000个

2）帧时间：1000*0.02s=20s

4.按照下方的参数再计算一遍原书中191页的计算题，求出脉冲多普勒雷达检测概率为50%的距离，参数如下:

平均功率： 10KW

有效天线面积： 1m2

波长： 0.03m

接收机噪声系数： 3dB

总损耗： 10dB

目标RCS： 0.1 m2

照射目标的时间： 0.01s

需要的SNR： 13dB

答：我们先把原书中191页中的例子看一下：

代入新的雷达参数，计算得R50为81km。

5.问题4中雷达的功率孔径积是多少？

答：功率孔径积是雷达系统设计中非常重要的一个参数，它基本决定了雷达的造价和大部分性能。功率孔径积就是字面意思，功率和孔径的乘积，天线孔径==天线的有效面积，所以答案为10000Wm2。

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