【算法基础学习 6】龙格库塔法求微分方程

龙格库塔法

龙格库塔法对于一个工科学生来说估计并不陌生，因为我们做项目的时候或多或少会接触到微分方程，解微分方程的数值解是就需要用到龙格库塔方程了。我第一次接触到该方法是对四轴姿态角进行四元数解算的时候，当时用的是一阶龙格库塔，当时的理解就是这不就是泰勒展开式取一阶嘛，然后觉得二阶龙格库塔应该就是取二阶了，依次类推，所以当时没有深入的了解，现在因为遇到这方面的问题所以重新把他学了一遍。

准确的说，高阶龙格库塔法是借用了泰勒展开式的思想，但是和泰勒展开式还是有区别的。下面我对龙格库塔法讲讲我的理解。

首先，龙格库塔的一般形式如下：

首先，我们可以知道一阶龙格库塔法的表达式

上述式子可以改写成如下式子

这里我们可以看成k是在步长为h情况下，函数的增长量，f（x,y）为函数y的斜率。这个式子其实比较好理解的。

然后我们来看二阶龙格库塔的推导过程：
二阶情况下一般表达式中就只有k1和k2了，二阶龙格库塔我们可以看成是一阶表达式的一个变形，由原来的一个k变成了k1,k2，用k1,k2来表示k，c1和c2相当于k1和k2所占的权重一样，这样理解是不是好一点。那k1和k2分别表示什么？？其实k1表示xi点处的增长量，k2表示的是xi+a2*h处的增长量。在这基础上，因为c1、c2、a2和是未知量。我们需要将其求出来，下面是我的推导过程：

这样二阶龙格库塔的迭代式子就可以表达出来了，写完收工。
然而如果你想你的数值解更加精确的话，你就需要更高阶次的龙格库塔迭代式，一般而言，四阶是最经典的，用的也是最多的。本来我想把四阶的参数也算一遍，但是工程量巨大，我放弃了。我尝试了一下3阶的参数推导，推导一半，我还是放弃了，我把我推到一半的过程也写出来，希望有人帮我弄出来，本人实在没有勇气。

这里把k1,k1k2,k2平方带入式子中，我感觉非常人能及的，高中学的解析几何感觉都不算什么？？
这里有一个需要注意的地方，图片中我用红笔标注了，由于三阶龙格库塔的阶段误差为，意思就是多项式中存在h的次数大于等于4的都可以忽略，这可能会大大减少我们的计算量，但是还是好难。
最后给出一个四阶龙格库塔算迭代表达式：