Word Embedding 简述

前言

　　自然语言处理，基础部分是语言模型，即如何描述自然语句所需要的数学模型，在此之上，词的表达是重要的学习任务。

概率语言模型

　　现在应用范围最广的就是概率语言模型了，以条件概率来描述某句话出现的概率。比如这个句子“小猫在草地上打滚”，我们将这句话出现的概率拆解成条件概率：

P (s e n t e n c e) = P (w 0) P (w 1 | w 0) P (w 2 | w 0 w 1) P (w 3 | w 0 w 1 w 2) \cdot \cdot \cdot

$P(sentence)=P(w_0)P(w_1|w_0)P(w_2|w_0w_1)P(w_3|w_0w_1w_2)···$
　　多么简单明了的数学模型啊，当前词出现的概率，依赖于之前的所有出现过的词，很符合顺序逻辑。
　　首先面临的问题是： 依赖关系太长，计算成了不现实的问题；另外， 词的表示 就成了NLP迫切需要解决的事情了。针对第一个问题，最先出现的是Ngram方法，将依赖限制到固定相邻几个词范围内，其本质上仍然将词作为孤立的单元，以one-hot形式出现的；关于后者，如下要介绍的方法，都是在概率语言模型下，就学习词向量所做的工作。

skip-gram & CBOW

　　首先出现的神级作品，就是Mikolov的skip-gram学习模型，第一次用超级简单的模型实现了大规模数据集（百个10亿规模）的词向量学习。
　　1）skip-gram: 以中心词来预测周围词。
　　2）CBOW: 以周围词来预测中心词，词袋模型。
　　两者相比，词袋模型训练时间更短，但是skip-gram更精准。
　　

　　为提高优化效率，利用分层softmax，该方法首次应用在语言模型中，是在05年，Morin, Bengio的《Hierarchical Probabilistic Neural Network Language Model》。
　　 skip-gram的升级版本，还是Mikolov，使用Negative Sample Method NEG代替Hierarchical Softmax, 并辅助以 下采样方法解决高低频词分布不均衡问题。同时，将熟语作为整体来训练，得到熟语的词向量表示。其 负采样下的样本pair概率计算如下：
　　

l o g P (w O | w I) = l o g σ (v' T w O v w I) + \sum i = 1 k E w i \sim P n (w) [l o g σ (- v' T w i v w I)]

$log P(w_O|w_I)=log \sigma(v'^T_{w_O} v_{w_I}) + \sum_{i=1}^kE_{w_i \sim P_n(w)}[log \sigma(-v'^T_{w_i} v_{w_I})]$
　　其中
$P_n(w)$ 是单个词在语料中的频次分布，再作
$3/4$ 的幂次方，
$k$ 在是小样本集下取[5,20]，大样本集下取[2,5]，论文中的经验值。
整体优化目标，仍是窗口内的周围词概率最大化：

\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} \sum_{- c \leq j \leq c, j \neq 0} l o g P (w_{t + j} | w_{t})

$\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\sum_{-c \leq j \leq c, j \neq0}log P(w_{t+j}|w_t)$
　　 下采样的基本思想 是由于高低频词的严重不均衡化，导致高频词的信息能提供的信息比低频词要少，那么适当的采样是科学合理的。其采样概率基于频词作适当调整，以
$P(w_i)$ 丢弃训练词
$w_i$ ，越高频的越容易被丢弃，
$t$ 是手选阈值，通常为 $10^{- 5}$

$10^{-5}$ ：

P (w i) = 1 - t f ( w i ) - - - - - \sqrt

$P(w_i)=1 - \sqrt{\frac{t}{f(w_i)}}$
　　NEG方法训练更快，不再沿路径计算路径节点只需采样即可，并且对高频词更友好；下采样方法可提高2~10倍训练速度，且对低频词更友好。
　　 NCE和NEG的关系： NCE可以用来做为softmax的log概率的最大化估计，基于NCE采样来表示条件概率
$logP(W_O|W_I)$ ，以此做词向量训练的方法名称被Mikolov称为NEG。NCE的首次提出是12年Gutmann, Hyvrinen 的《Noise-Contrastive Estimation of Unnormalized Statistical Models, with Applications to Natural Image Statistics》,首次用在Language Model中是13年Minh, Whye Teh的《A Fast and Simple Algorithm for Training Neural Probabilistic Languages Models》。
　　 notice 1：为什么之前的方法不能够实现超大规模数据集的学习，因为大部分的方法，比如LSI / LSA是基于矩阵分解的。
　　 notice 2： 2003，bengio的《A Neural Probabilistic Language Model》才是Word Embedding的首次提出，尝试将one-hot词表示通过前向神经网络映射成稠密表示。
　　 noitce 3： 对分层softmax 和 NEG有个比较好的博客介绍。

GloVec

　　GloVec，global vectors 弥补了全局和局部（窗口类方法）的割裂性，本质仍然是统计模型分解，也是简单模型计算词向量的典型算法，14年由Pennington提出，是一个统计强化版的skip-gram。
　　如何得到的GloVec的思路有点绕，简单如下解释：
　　1）假设
$P_{ij}=P(j|i)=\frac{X_{ij}}{X_i}$ 表示词
$w_j$ 出现在词
$w_i$ 上下文中的概率，
$X_{ij}$ 表示词
$w_j$ 在词
$w_i$ 上下文中的频次。其中
$P_{ik}/P_{jk}$ 依赖于三个词
$w_i, w_j, w_k$ ，将依赖关系表示为
$F(w_i, w_j, w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}}$ 。
　　2）词向量的空间是具有线性特质的，那么表示两个词的商，用差来描述也是可以的：
$\frac{P_{ik}}{P_{jk}}=F(w_i - w_j, w_k)$
　　3）为了更好地对齐两边的形式，压缩为数值：
$\frac{P_{ik}}{P_{jk}}=F((w_i - w_j)^T w_k)$
　　4）将商与差的假设关系【隐藏着log通解】替换上去：
$F(w_i^Tw_k)=P_{ik}=\frac{X_{ik}}{X_i}$
　　5）将假设关系对应的通解带入：
$w_i^T w_k = log(P_{ik})=logX_{ik} - log X_i$
　　6）一般还会加入bias：
$w_i^T w_k + b_i + b_k = logX_{ik}$ ，
$log X_i$ 作为常数合并到bias中。
　　整体优化目标：

J = \sum i, j = 1 V f (X i j) [w T i w k + b i + b k - l o g X i j] 2

$J=\sum_{i,j=1}^V f(X_{ij})[w_i^T w_k + b_i + b_k - log X_{ij}]^2$
　　f(x)是非减函数，f(0)=0，对大值x->f(x)较小，避免overweight。论文给出了非常适合的一个f函数：
　　　　　　　　
$\left\{\begin{matrix} (x/x_{max})^\alpha & if x < x_{max}\\ 1 & else \end{matrix}\right.$ ，其中
$\alpha=3/4, x_{max}=100$
　　最后还给出了skip-gram也放到这个解释框架下的样式，从而给出结论，GloVec能覆盖住skip-gram窗口所不能覆盖的全局统计信息。
　　 notice 1： 词向量的学习有个有意思的现象， 模型简单并不会影响词向量的好使程度。
　　 notice 2： 矩阵分解类方法，矩阵形式有term-doc和term-term；分解方法有LSA/HAL/COALS/PPMI/HPCA。
　　 noitce 3： 关于方程通解问题，详细了解可以找下高等数学下册部分。

RNN-LM

　　基于RNN结构来学习词向量，还是这个Mikolov，他的RNNLM工作都总结在博士论文里，超级长还不如看开源代码。
　　主要是做啥呢？如下图解释：
　　

　　主要公式：
$s(t) = \textrm{sigmoid}(U w(t) + W s(t-1))$ ,其中
$w$ 是one-hot的词， $U$

$U$ 是向量矩阵。
　　RNN可以真正充分地利用所有上文信息来预测下一个词，而不像前面的其它工作那样，只能开一个 n 个词的窗口，只用前 n 个词来预测下一个词。就是这里使用的RNN是最简单的RNN结构，训练优化比较困难。为缓解巨大的词表带来的softmax过大问题，根据词频将
$V$ 个词分成 $\sqrt{V}$

$\sqrt{V}$ ，先判断是哪个组再判断是哪个词。

拓展思考

非直接统计目标学习的词向量

　　直接用索引式的向量矩阵来表示词向量集合，然后基于当前的学习任务（非上述统计的学习任务，而是比如分类等任务），这个时候学习得到的词向量，是匹配当前任务度最好的词向量。只不过不再是基于统计目标优化得到的词向量，而成了是基于任务目标优化得到的词向量。没有明确结论两者有优劣之分的。

Debiasing Word Embdding

　　这个问题应该是模型对现实世界的真实反映，为什么词向量里面会出现歧视色彩，主要是语料库来自现实世界，而现实中就是存在歧视现象。所谓的修正，也仅限于人为的修正。基本方法如下：
　　1）用一组偏性别词向量，计算其主成分，top-one则是性别方向g，作为性别子空间。
　　2）指定中性别词集合，其与性别子空间的距离要保持阈值以上。
受限于各种原因，本文对word embedding的各个方面并没有照顾地那么全，希望读者多多思考和补充。

Reference

《2013 - Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space》
《2013 - Distributed Representations of Words and Phrases and their Compositionality》建议重点阅读。
《2003 - A Neural Probabilistic Language Model》
《2005 - Hierarchical Probabilistic Neural Network Language Model》
《2012 - Noise-Contrastive Estimation of Unnormalized Statistical Models, with Applications to Natural Image Statistics》
《2013 - A Fast and Simple Algorithm for Training Neural Probabilistic Languages Models》
《2014 - GloVe: Global Vectors for Word Representation》
《2010 - Recurrent Neural Network based Language Model》
《2013 - Distributed Representations of Words and Phrases and their Compositionality》