读《计算机科学概论》

我在学习程序语言原理和算法的时候，发现计算机专业开始涉及到一些专业的数学知识。有人说计算机是数学专业分支下的一个学科，也有人说计算机是独立于数学的一门学科。为了理清楚计算机和数学的界限以及依赖关系，我开始想系统的了解这两门学科的系统分支和交叉依赖的地方。

首先我开始了解数学都有哪些分支，以及分支的上下级关系。由于在学校里学到过离散数学这门从名字上看很另类的课程，我想探究一下离散数学是属于数学专业里的哪个分支，结果发现数学专业里没有这一门课程。离散数学是近几十年来，随着计算机的发展而形成的一门学科，它包括了数学一些分支里的部分知识（包括布尔代数、集合、图论、概率论、统计学等）。

另外我发现数学里的各个分支的知识在历史上出现的时间点也是仅从科学分支上看不出来的。例如集合论、极限、微积分在历史上出现的顺序是微积分、集合论、极限，而集合论和极限是微积分的基础，但是基础性的数学分支学科并没有比它的下游的分支出现的早。所以我又去了解了一下数学史，对所有的数学分支在历史上是怎么发展演变的有了一个大体的了解。

最终我总结了几点：基础数学相对来说是出现的比较晚的，并且分成了逻辑、直觉、形式三大分支。其中的逻辑是和哲学的学科有交叉的，数学里的逻辑分支就是数理逻辑。

在一般的数学专业本科里，数理逻辑不算是很主要的一门课程，因为有更多其它的重要的课程。也不是所有的数学专业都会开设，甚至开设的学校比较少。

计算机专业里也很少开设数理逻辑这门课的，因为比较理论，可能在研究生课程里会开设。

数理逻辑用集合和布尔代数研究可计算性和计算复杂度，这是数学上的算法、可计算性和计算复杂度。图灵机和lambda演算也能研究可计算性和计算复杂度，这是机器领域的算法、可计算性和计算复杂度。图灵猜想是说图灵机可以计算所有数学上可以计算的函数，也就是说在数学上，人工通过代数等可以计算的东西，用图灵机也能计算，图灵机和数学工具是有相同的计算能力的。在数学上没有算法能计算出来结果的函数，图灵机也解不出来。

程序通用语言是和图灵机很类似的东西，最简单的程序通用语言只需要有X++,X--,WHILE;END;三条语句就够了，甚至在实际机器操作上，减法用补码的加法来实现，所以最核心的通用程序语言只需要两条语句就够了：X++和WHILE;END;控制对。一个是加法，一个是循环判断，只要有了这两个特性的语言，就是图灵机等价的。图灵机能计算的，这个语言也能计算，如果图灵猜想成立，那么数学上可计算的函数，用这个语言也能计算。

所以说，世界上的程序语言千万种，本质上只是实现了加法和循环判断，语言功能再多，也只是这两个基本功能的包装而已，程序语言的真正核心的能力并没有被扩大。

改进一下这个通用基础语言，加上一些语义，使得一个子过程可以调用另外一个子过程，子过程也可以调用自身，这样就变成了一门具有递归的语言。在计算能力上循环和递归也是等价的。

通过阅读计算机科学概论，我又重新梳理了一下计算机专业涉及的分支，对于基础的课程，在学科上会有交叉的地方。对计算机的知识体系，我归纳如下：

1. 哲学数学
2. 逻辑(符号逻辑) 基础数学（逻辑主义、直觉主义、形式主义(公理化系统)）
3. 数理逻辑、集合论、布尔代数、计算理论...（另有其它数学学科：数学分析、抽象代数、高等代数、概率论、运筹学、数值计算、数值代数、计算方法、初等数论、代数数论、同调代数、计算代数、交换代数、组合数学、一般拓扑、代数拓扑、点集拓扑、微分拓扑、解析几何、微分方程、微分几何、微分流形、黎曼几何、射影几何、几何理论、实变函数、复变函数、泛函分析、调和分析、回归分析、多元统计分析、测度论、函数逼近论、群论、群表示论、李群、李代数、图论、鞅论、数系、数理统计、随机过程、代数几何、索伯列夫空间、泰希米勒空间）
4. 数据结构、算法
5. 程序语言、编译原理
6. 协议、规范、类库、框架、平台、操作系统、开发工具
7. 应用程序
8. 软件工程
9. 软件产品
10. 项目管理

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