排序算法之——归并排序和快速排序

冒泡排序、插入排序、选择排序这三种算法的时间复杂度都为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，只适合小规模的数据。今天，我们来认识两种时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 的排序算法——归并排序（Merge Sort）和快速排序（Quick Sort），他们都用到了分治思想，非常巧妙。

1. 归并排序（Merge Sort）？

1.1. 归并排序算法实现

归并排序的核心思想其实很简单，如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后分别对前后两部分进行排序，再将排好序的两部分数据合并在一起就可以了。

归并排序使用的是分治思想，分治也即是分而治之，将一个大问题分解为小的子问题来解决。分治算法一般都是用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。
如果要对数组区间 [p, r] 的数据进行排序，我们先将数据拆分为两部分 [p, q] 和 [q+1, r]，其中 q 为中间位置。对两部分数据排好序后，我们再将两个子数组合并在一起。当数组的起始位置小于等于终止位置时，说明此时只有一个元素，递归也就结束了。

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))终止条件：
p >= r 不用再继续分解

对两个子数组进行合并的过程如下所示，我们先建立一个临时数组，然后从两个子数组的起始位置开始比较，将较小的元素一个一个放入临时数组，直到其中一个子数组比较完毕，再将剩下的另一个子数组余下的值全部放到临时数组后面。最后我们需要将临时数组中的数据拷贝到原数组对应的位置。

代码实现

// O(n(logn))
void Merge_Sort(float data[], int left, int right, float sorted_data[])
{if(left < right){int mid = (left + right) / 2;Merge_Sort(data, left, mid, sorted_data);Merge_Sort(data, mid+1, right, sorted_data);Merge_Array(data, left, mid, right, sorted_data);}
}void Merge_Array(float data[], int left, int mid, int right, float temp[])
{int i = left, j = mid + 1;int k = 0;// 从子数组的头开始比较while(i <= mid && j <= right){if (data[i] <= data[j]){temp[k++] = data[i++];}else{temp[k++] = data[j++];}}// 判断哪个子数组还有元素，并拷贝到 temp 后面while(i <= mid){temp[k++] = data[i++];}while(j <= right){temp[k++] = data[j++];}// 将 temp 中的数据拷贝到原数组对应位置for(i = 0; i < k; i++){data[left+i] = temp[i];}
}/*哨兵简化*/
void Merge_Array(float data[], int left, int mid, int right, float temp[])
{int max_num = INT_MAX;int len = right - left + 1;int data_left = new int[mid-left+2];int data_right = new int[right-mid+1];int i = 0, j = 0, k = 0;// 复制左半部分元素，放置哨兵在末尾for(int k = left; k <= mid; k++){data_left[k-left] = data[k];}data_left[k-left] = max_num;// 复制右半部分元素，放置哨兵在末尾for(int k = mid + 1; k <= right; k++){data_right[k-mid-1] = data[k];}data_right[k-mid-1] = max_num;for (int k = 0; k < len; k++){if (data_left[i] <= data_right[j]){data[k+left] = data_left[i++];}else{data[k+left] = data_right[j++];}}
}

1.2. 归并排序算法分析

归并排序是一个稳定的排序算法，在进行子数组合并的时候，我们可以设置当元素大小相等时，先将前半部分的数据放入临时数组，这样就可以保证相等元素在排序后依然保持原来的顺序。
不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递归公式。
如果我们对 n n n 个元素进行归并排序所需要的时间是 T ( n ) T(n) T(n)，那分解成两个子数组排序的时间都是 T ( n 2 ) T(\frac{n}{2}) T(2n)，而合并两个子数组的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。所以，归并排序的时间复杂度计算公式为：

T ( 1 ) = C T(1) = C T(1)=C
T ( n ) = 2 ∗ T ( n 2 ) + n , n > 1 T(n) = 2*T(\frac{n}{2}) + n, n>1 T(n)=2∗T(2n)+n,n>1

n = 1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。

T ( n ) = 2 ∗ T ( n 2 ) + n T(n) = 2*T(\frac{n}{2}) + n T(n)=2∗T(2n)+n
= 2 ∗ [ 2 ∗ T ( n 4 ) + n 2 ] + n = 4 ∗ T ( n 4 ) + 2 ∗ n = 2*[2*T(\frac{n}{4}) + \frac{n}{2}] + n = 4*T(\frac{n}{4}) + 2*n =2∗[2∗T(4n)+2n]+n=4∗T(4n)+2∗n
= 4 ∗ [ 2 ∗ T ( n 8 ) + n 4 ] + 2 ∗ n = 8 ∗ T ( n 8 ) + 3 ∗ n = 4*[2*T(\frac{n}{8}) + \frac{n}{4}] + 2*n = 8*T(\frac{n}{8}) + 3*n =4∗[2∗T(8n)+4n]+2∗n=8∗T(8n)+3∗n
. . . . . . ...... ......
= 2 k ∗ T ( n 2 k ) + k ∗ n = 2^k * T(\frac{n}{2^k}) + k * n =2k∗T(2kn)+k∗n
. . . . . . ...... ......
当 n 2 k = 1 \frac{n}{2^k} = 1 2kn=1时， k = l o g 2 n k = log_2n k=log2n，代入上式得：
T ( n ) = n ∗ C + n l o g 2 n T(n) = n * C + nlog_2n T(n)=n∗C+nlog2n
用大 O 标记法来表示，归并排序的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。

从我们的分析可以看出，归并排序的执行效率与原始数据的有序程度无关，其时间复杂度是非常稳定的，不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
归并排序有一个缺点，那就是它不是原地排序算法。在进行子数组合并的时候，我们需要临时申请一个数组来暂时存放排好序的数据。因为这个临时空间是可以重复利用的，因此归并排序的空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，最多需要存放 n n n 个数据。

2. 快速排序（Quick Sort）？

1.1. 快速排序算法实现

快速排序的思想是这样的，如果要对数组区间 [p, r] 的数据进行排序，我们先选择其中任意一个数据作为 pivot（分支点），一般为区间最后一个元素。然后遍历数组，将小于 pivot 的数据放到左边，将大于 pivot 的数据放到右边。接着，我们再递归对左右两边的数据进行排序，直到区间缩小为 1 ，说明所有的数据都排好了序。

递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)终止条件：
p >= r

归并排序是由下向上的，先处理子数组然后再合并。而快速排序正好相反，它的过程是由上向下的，先分出两个子区间，再对子区间进行排序。归并排序是稳定的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，但它是非原地算法，而快排则是原地排序算法。

快速排序的分区过程如下所示，从左到右依次遍历数组，如遇到小于 pivot 的元素，则进行数据交换，否则继续往前进行，最后再放置 pivot。
代码实现

// O(n(logn))
void Quick_Sort(float data[], int left, int right)
{if (left < right){int i = left, j = left;int pivot = data[right];for (j = left; j < right; j++){if (data[j] < pivot){int temp = data[i];data[i] = data[j];data[j] = temp;i++;}}data[j] = data[i];data[i] = pivot;Quick_Sort(data, left, i-1);Quick_Sort(data, i+1, right);}
}

快速排序的另一种实现方式如下所示，先取出一个元素作为 pivot（假设是最后一个），这时 pivot 位置可以看作为空，然后从左到右查找第一个比 pivot 大的元素放在 pivot 的位置，此时空的地方变成了这第一个比 pivot 大的元素位置。然后从右到左查找第一个比 pivot 小的元素放在刚才空的位置，依次循环直到从左到右和从右到左都查找到了同一位置，这时候再把 pivot 放置在最后一个空位。这个过程可以形象的被称为“挖坑填坑”。

代码实现

// O(n(logn))
void Quick_Sort(float data[], int left, int right)
{if (left < right){int i = left, j = right;int pivot = data[j];while(i < j){while(i < j && data[i] <= pivot) // 从左往右找到第一个比 pivot 大的数{i++;}if(i < j){data[j--] = data[i];}while(i < j && data[j] >= pivot) // 从右往左找到第一个比 pivot 小的数{j--;}if(i < j){data[i++] = data[j];}}data[i] = pivot; // i=jQuick_Sort(data, left, i-1);Quick_Sort(data, i+1, right);}
}

2.2. 快速排序算法分析

如果快速排序每次都将数据分成相等的两部分，则快排的时间复杂度和归并排序相同，也是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，但这种情况是很难实现的。如果数据原来已经是有序的，则每次的分区都是不均等的，我们需要进行 n 次分区才能完成整个排序，此时快排的时间复杂度就退化成了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
平均时间复杂度的求解也可以通过递归树来分析，这个问题留待我们以后再解决。我们现在只需要知道，在大部分情况下，快速排序的时间复杂度都可以做到 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，只有在极端情况下，才会退化成 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
快速排序是一个原地排序算法，是一个不稳定的排序算法，因为其在数据交换过程中可能会改变相等元素的原始位置。

3. 小结

归并排序和快速排序都是利用分治的思想，代码都通过递归来实现，过程非常相似。
归并排序非常稳定，时间复杂度始终都是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，但不是原地排序；快速排序虽然最坏情况下时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，但平均情况下时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，最坏情况发生的概率也比较小，而且是原地排序算法，因此应用得更加广泛。

参考资料-极客时间专栏《数据结构与算法之美》

获取更多精彩，请关注「seniusen」!

排序算法之——归并排序和快速排序相关推荐

排序算法：归并排序、快速排序
相关博客: 排序算法:冒泡排序.插入排序.选择排序.希尔排序排序算法:归并排序.快速排序排序算法:桶排序.计数排序.基数排序排序算法:堆排序十大排序算法小结一.归并排序: 1.工作原理: 归 ...
NOI提高级：排序算法之归并排序、快速排序
图解排序算法(四)之归并排序图解排序算法(四)之归并排序 - dreamcatcher-cx - 博客园小学生图解排序算法:⑥归并排序小学生图解排序算法:⑥归并排序_纯文笔记-CSDN博客_图解 ...
排序算法中——归并排序和快速排序
冒泡排序.插入排序.选择排序这三种算法的时间复杂度都为 $O(n^2)$,只适合小规模的数据.今天,我们来认识两种时间复杂度为 $O(nlogn)$ 的排序算法--归并排序(Merge Sort)和快 ...
[Alg]排序算法之归并排序
[Alg]排序算法之归并排序作者:屎壳郎 miaosg01@163.com 日期:Aug 2021 版次:初版简介: 归并排序是一类在任何情况下都能保证Nlg⁡(N)N\lg(N)Nlg(N)的排 ...
【排序算法】归并排序（C语言）
[排序算法]-- 归并排序(C语言) 目录一.归并排序的原理二.两个有序数组排序和合并 1. 原地排序 2. 创建临时空间二.递归实现三.非递归实现 1. 实现思路 2. 数组边界问题 3. ...
排序算法之--归并排序（好玩的一个算法o。o）快速入门
排序算法之--归并排序(好玩的一个算法o.o) 下面是归并操作的基本思路(注意:是归并操作哦,不是归并排序哦) 归并操作的工作原理如下: 第一步:申请空间,使其大小为两个已经排序序列之和,该空间用来存 ...
数据结构与算法：十大排序算法之归并排序
数据结构与算法:十大排序算法之归并排序 package TopTenSortingAlgorithms;/*** 归并排序:Java** @author skywang* @date 2014/03/ ...
c++ 快速排序_C语言必学的12个排序算法：归并排序（第8篇）
题外话很多童鞋感受算法比较难度,的确,算法其实和C语言本身关系不大,算法是计算机科学家利用丰富的数学和算法设计知识研究出来,如今我们只需拿来主义,学习使用即可,当然这需要一定的努力过程. [C语言必学 ...
C语言各种排序算法（冒泡排序、快速排序、插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序）
不知名排序 #include <stdio.h>int main() {int a[18] = {11,5,53,10,26,3,89,32,9,10,1,24,35,56,43,23,7 ...

排序算法之——归并排序和快速排序

1. 归并排序（Merge Sort）？

1.1. 归并排序算法实现

1.2. 归并排序算法分析

2. 快速排序（Quick Sort）？

1.1. 快速排序算法实现

2.2. 快速排序算法分析

3. 小结

排序算法之——归并排序和快速排序相关推荐

最新文章

热门文章