海森堡模型的基态计算

1.二自旋

定义磁场中二自旋的海森堡（Heisenberg）模型：
H^(hα)=∑α=x,y,z[s^1αs^2α+hα(s^1α+s^2α)]\hat{H}(h^\alpha) = \sum_{\alpha = x,y,z}[\hat{s}_1^\alpha\hat{s}_2^\alpha+h^\alpha(\hat{s}_1^\alpha+\hat{s}_2^\alpha)]H^(hα)=α=x,y,z∑[s^1αs^2α+hα(s^1α+s^2α)]
H^\hat{H}H^表示哈密顿量
按理说s^1αs^2α\hat{s}_1^\alpha\hat{s}_2^\alphas^1αs^2α为4x4的矩阵，s^1α，s^2α\hat{s}_1^\alpha，\hat{s}_2^\alphas^1α，s^2α与hαh^\alphahα乘积下为一个2x2的矩阵，解决方法为为：s^1α，s^2α\hat{s}_1^\alpha，\hat{s}_2^\alphas^1α，s^2α分别直积上一个2x2的单位阵
其中，hαh^\alphahα定义为沿自旋α\alphaα方向的外磁场。
下面我们考虑自旋1/2，选择s^z\hat{s}^zs^z本征态作为基矢
为简便起见:设hx=hy=0,hz=hh^x = h^y =0,h^z = hhx=hy=0,hz=h
显而易见，H^\hat{H}H^不能写成多个单体算符的直积（把海森堡模型当作一个二体算符来处理）

H^\hat{H}H^的系数可看作是2 × 2 × 2 × 2的四阶张量或4 × 4矩阵，计算步骤为：
（a）获得各个自旋算符的矩阵；
（b）计算 s^1αs^2α\hat{s}_1^\alpha\hat{s}_2^\alphas^1αs^2α，为2 × 2 × 2 × 2张量；
（c）计算 s^1αI2\hat{s}_1^\alpha I_2s^1αI2与I1s^2αI_1\hat{s}_2^\alphaI1s^2α，为2 × 2 × 2 × 2张量；
（d）将各项求和，进行本征值分解获得最终结果（对H的系数矩阵进行本征值分解，求最小的本征向量与本征值，于是把基态计算出来）

显然，得到哈密顿量之后，可直接调用求解最低本征态的函数计算基态及基态能.

2. 二自旋代码

# 生成自旋算符的函数
def spin_operator_one_half():op = dict()op['i'] = np.eye(2)  # Identityop['x'] = np.zeros((2, 2))op['x'][0, 1] = 1 / 2op['x'][1, 0] = 1 / 2op['y'] = np.zeros((2, 2), dtype=np.complex)op['y'][0, 1] = 1j / 2op['y'][1, 0] = -1j / 2op['z'] = np.zeros((2, 2))op['z'][0, 0] = 1 / 2op['z'][1, 1] = -1 / 2return op# 生成二自旋海森堡哈密顿量
def heisenberg_hamilt(j, h):""":param j: list，耦合参数[Jx, Jy, Jz]:param h: list，外磁场[hx, hy, hz]:return H: 哈密顿量"""op = spin_operator_one_half()H = j[0]*np.kron(op['x'], op['x']) + j[1]*np.kron(op['y'], op['y']) + \j[2]*np.kron(op['z'], op['z']) #np.kron(a,b)两个阵列的Kronecker乘积(张量积)H += h[0] * (np.kron(op['x'], op['i']) + np.kron(op['i'], op['x']))H += h[1] * (np.kron(op['y'], op['i']) + np.kron(op['i'], op['y']))H += h[2] * (np.kron(op['z'], op['i']) + np.kron(op['i'], op['z']))if np.linalg.norm(np.imag(H)) < 1e-20:#np.imag()返回复杂参数的虚部H = np.real(H)#np.real()返回复杂参数的实部。return Hhamilt = heisenberg_hamilt([1, 1, 1], [0, 0, 0])  # 无磁场的二自旋海森堡哈密顿量
print('零磁场下海森堡哈密顿量 = ')
print(hamilt)

3.退火算法

想要计算基态，不一定要获得完整的哈密顿量
例-海森堡格点模型（无外场 ):H^=∑⟨i,j⟩H^ij,): \widehat{H}=\sum_{\langle i, j\rangle} \widehat{H}_{i j},):H=∑⟨i,j⟩Hij, 求和号每一项为二自旋海森堡哈密顿量 H^ij=∑α=x,y,zs^iαs^jα,\widehat{H}_{i j}=\sum_{\alpha=x, y, z} \hat{s}_{i}^{\alpha} \hat{s}_{j}^{\alpha},Hij=∑α=x,y,zs^iαs^jα, ⟨i,j⟩\langle i, j\rangle⟨i,j⟩ 遍历图中所有相连的格点对
如图一维海森堡链：

基态计算的退火算法：基本原理为对任意初态∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩进行投影
lim⁡β→∞e−βH^∣φ⟩→∣g⟩\lim _{\beta \rightarrow \infty} e^{-\beta \hat{H}}|\varphi\rangle \rightarrow|g\rangle β→∞lime−βH^∣φ⟩→∣g⟩
(注: e−βH^e^{-\beta \hat{H}}e−βH^ 的最大本征态为| g⟩;\left.g\right\rangle ;g⟩; 回顾：最大本征问题的幕级数求解法)

例：考虑4个自旋构成的一维海森堡链，退火算法具体步骤为：
（a）随机初始化量子态 ∣g0⟩i\left|g_{0}\right\rangle_{i}∣g0⟩i
（b）计算 ∣gt+1′⟩=e−τH^12e−τH^34∣gt⟩\left|g_{t+1}^{\prime}\right\rangle=e^{-\tau \widehat{H}_{12}} e^{-\tau \widehat{H}_{34}}\left|g_{t}\right\rangle∣∣gt+1′⟩=e−τH12e−τH34∣gt⟩ 并归一化结果 iii
（c）计算 ∣gt+1⟩=e−τH^23∣gt+1′⟩\left|g_{t+1}\right\rangle=e^{-\tau \widehat{H}_{23}}\left|g_{t+1}^{\prime}\right\rangle∣gt+1⟩=e−τH23∣∣gt+1′⟩ 并归一化结果 iii
（d）检查| gt+1g_{t+1}gt+1 )是否收敘，否则返回至步骤（b）。

退火算法的数学原理：Trotter-Suzuki分解 对于算符 A^\hat{A}A^ 和 B^,\hat{B},B^, 有如下关系
eτ(A^+B^)=eτA^eτB^+τ2[A^,B^]+⋯e^{\tau(\hat{A}+\hat{B})}=e^{\tau \hat{A}} e^{\tau \hat{B}}+\tau^{2}[\hat{A}, \hat{B}]+\cdots eτ(A^+B^)=eτA^eτB^+τ2[A^,B^]+⋯
当 A^\hat{A}A^ 和 B^\hat{B}B^ 对易时 ,eτ(A^+B^)=eτA^eτB^, \quad e^{\tau(\hat{A}+\hat{B})}=e^{\tau \hat{A}} e^{\tau \hat{B}},eτ(A^+B^)=eτA^eτB^
当 τ\tauτ 为小量时（且A^\hat{A}A^ 和 B^\hat{B}B^ 不对易）, eτ(A^+B^)−eτA^eτB^=O(τ2)e^{\tau(\hat{A}+\hat{B})}-e^{\tau \hat{A}} e^{\tau \hat{B}}=O\left(\tau^{2}\right)eτ(A^+B^)−eτA^eτB^=O(τ2)
对于上述例子，取 τ\tauτ 为小量, 有
e−τH^≈e−τ(H^12+H^34)e−τH^23=e−τH^12e−τH^34e−τH^23e^{-\tau \widehat{H}} \approx e^{-\tau\left(\widehat{H}_{12}+\widehat{H}_{34}\right)} e^{-\tau \widehat{H}_{23}}=e^{-\tau \widehat{H}_{12}} e^{-\tau \widehat{H}_{34}} e^{-\tau \widehat{H}_{23}} e−τH≈e−τ(H12+H34)e−τH23=e−τH12e−τH34e−τH23
格子示意图如下所示：

在张量网络中，基于退火算法发展出了著名的时间演化块消减算法 [TEBD, PRL98, 070201 (2007)]，但是在小尺寸可严格计算的体系中，并没有必要采用退火算法，因为在进行Trotter-Suzuke分解时会额外引入误差。
下面引入一种更加直接的计算方法（通常被称为严格对角化算法）：
（a）定义线性映射f(∣φ⟩):∣φ⟩→(I−τH^)∣φ⟩=∣φ⟩−τ∑⟨i,j⟩H^ij∣φ⟩f(|\varphi\rangle):|\varphi\rangle \rightarrow(I-\tau \widehat{H})|\varphi\rangle=|\varphi\rangle-\tau \sum_{\langle i, j\rangle} \widehat{H}_{i j}|\varphi\ranglef(∣φ⟩):∣φ⟩→(I−τH)∣φ⟩=∣φ⟩−τ∑⟨i,j⟩Hij∣φ⟩
（b）求解线性映射fff的最大本征值与本征态
（其中，

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（6）自旋模型基态算法

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1.二自旋

2. 二自旋代码

3.退火算法

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