回归损失函数：L1，L2，Huber，Log-Cosh，Quantile Loss

机器学习中所有的算法都需要最大化或最小化一个函数，这个函数被称为“目标函数”。其中，我们一般把最小化的一类函数，称为“损失函数”。它能根据预测结果，衡量出模型预测能力的好坏。

在实际应用中，选取损失函数会受到诸多因素的制约，比如是否有异常值、机器学习算法的选择、梯度下降的时间复杂度、求导的难易程度以及预测值的置信度等等。因此，不存在一种损失函数适用于处理所有类型的数据。损失函数大致可分为两类：分类问题的损失函数和回归问题的损失函数。这篇文章介绍不同种类的回归损失函数以及它们的作用。

1、MAE / L1 + MSE / L2

（1）平均绝对误差(MAE / L1)

Y轴：MAE损失。X轴：预测值。

平均绝对误差（MAE）是一种用于回归模型的损失函数。MAE是目标值和预测值之差的绝对值之和。其只衡量了预测值误差的平均模长，而不考虑方向，取值范围也是从0到正无穷（如果考虑方向，则是残差/误差的总和——平均偏差（MBE））。

（2）均方误差(MSE / L2)

Y轴：MSE损失。X轴：预测值。

均方误差(MSE)是最常用的回归损失函数，计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和。MSE函数的图像中，目标值是100，预测值的范围从-10000到10000，Y轴代表的MSE取值范围是从0到正无穷，并且在预测值为100处达到最小。

（3）MSE（L2损失）与MAE（L1损失）的分析

简单来说，MSE计算简便，但MAE对异常点有更好的鲁棒性。训练一个机器学习模型时，目标就是找到损失函数达到极小值的点。当预测值等于真实值时，这两种函数都能达到最小。

分析：MSE对误差取了平方（令e=真实值-预测值），因此若e>1，则MSE会进一步增大误差。如果数据中存在异常点，那么e值就会很大，而e²则会远大于|e|。因此，相对于使用MAE计算损失，使用MSE的模型会赋予异常点更大的权重。用RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量级中）计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。

直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

如何选择损失函数：如果训练数据被异常点所污染（比如，在训练数据中存在大量错误的反例和正例标记，但是在测试集中没有这个问题）或者异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来，则应选用MSE损失函数。相反，如果只把异常值当作受损数据，则应选用MAE损失函数。

MAE存在一个严重的问题（特别是对于神经网络）：更新的梯度始终相同，也就是说，即使对于很小的损失值，梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷，可以使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。

MSE在这种情况下的表现就很好，即便使用固定的学习率也可以有效收敛。MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。这使得在训练结束时，使用MSE模型的结果会更精确。

总结：处理异常点时，L1损失函数更稳定，但它的导数不连续，因此求解效率较低。L2损失函数对异常点更敏感，但通过令其导数为0，可以得到更稳定的封闭解。

二者兼有的问题是：在某些情况下，上述两种损失函数都不能满足需求。例如，若数据中90%的样本对应的目标值为150，剩下10%在0到30之间。那么使用MAE作为损失函数的模型可能会忽视10%的异常点，而对所有样本的预测值都为150。这是因为模型会按中位数来预测。而使用MSE的模型则会给出很多介于0到30的预测值，因为模型会向异常点偏移。上述两种结果在许多商业场景中都是不可取的。最简单的办法是对目标变量进行变换。而另一种办法则是换一个损失函数。

2、Huber Loss

Y轴：Huber损失。X轴：预测值。真值取0。

Huber损失，平滑的平均绝对误差。Huber损失对数据中的异常点没有平方误差损失那么敏感。它在0也可微分。本质上，Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。误差降到多小时变为平方误差由超参数δ（delta）来控制。当Huber损失在 [0-δ，0+δ] 之间时，等价为MSE，而在 [-∞，δ] 和 [δ，+∞] 时为MAE。

这里超参数delta的选择非常重要，因为这决定了对异常点的定义。当残差大于delta，应当采用L1（对较大的异常值不那么敏感）来最小化，而残差小于超参数，则用L2来最小化。

如何选择损失函数：使用MAE训练神经网络最大的一个问题就是不变的大梯度，这可能导致在使用梯度下降快要结束时，错过了最小点。而对于MSE，梯度会随着损失的减小而减小，使结果更加精确。在这种情况下，Huber损失就非常有用。它会由于梯度的减小而落在最小值附近。比起MSE，它对异常点更加鲁棒。因此，Huber损失结合了MSE和MAE的优点。但是，Huber损失的问题是可能需要不断调整超参数delta。

3、Log-Cosh Loss

Y轴：Log-cosh损失。X轴：预测值。真值取0。

Log-cosh损失是另一种应用于回归问题中的，且比L2更平滑的的损失函数。它的计算方式是预测误差的双曲余弦的对数。

优点：对于较小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，对于较大的x，近似等于abs(x)-log(2)。这意味着‘logcosh’基本类似于均方误差，但不易受到异常点的影响。它具有Huber损失所有的优点，但不同于Huber损失的是，Log-cosh二阶处处可微。

如何选择损失函数：许多机器学习模型如XGBoost，就是采用牛顿法来寻找最优点。而牛顿法就需要求解二阶导数（Hessian）。因此对于诸如XGBoost这类机器学习框架，损失函数的二阶可微是很有必要的。但Log-cosh损失也并非完美，其仍存在某些问题。比如误差很大的话，一阶梯度和Hessian会变成定值，这就导致XGBoost出现缺少分裂点的情况。

4、Quantile Loss

γ是所需的分位数，其值介于0和1之间。

Y轴：分位数损失。X轴：预测值。Y的真值为0。

许多商业问题的决策通常希望了解预测中的不确定性，更关注区间预测而不仅是点预测时，分位数损失函数就很有用。

使用最小二乘回归进行区间预测，基于的假设是残差（y-y_hat）是独立变量，且方差保持不变。一旦违背了这条假设，那么线性回归模型就不成立。这时，就可以使用分位数损失和分位数回归，因为即便对于具有变化方差或非正态分布的残差，基于分位数损失的回归也能给出合理的预测区间。

理解分位数损失函数：如何选取合适的分位值取决于我们对正误差和反误差的重视程度。损失函数通过分位值（γ）对高估和低估给予不同的惩罚。例如，当分位数损失函数γ=0.25时，对高估的惩罚更大，使得预测值略低于中值。

这个损失函数也可以在神经网络或基于树的模型中计算预测区间。在用Sklearn实现梯度提升树回归模型的示例中，使用分位数损失可以得到90％的预测区间。其中上限为γ=0.95，下限为γ=0.05。

参考：

不同种类的损失函数以及它们的作用