1. 绪论

对于分位数回归损失函数，最近看到了两种不同的实现。这种实现和 Bing 上检索到的任何一种分位数损失函数表达形式都不一样。

import keras.backend as Kdef QR_error(y_true, y_pred, tau):dy = y_pred - y_truereturn K.mean((1.0 - tau) * K.relu(dy) + tau * K.relu(-dy), axis=-1)

def quantile_loss(q, y, y_p):e = y-y_preturn K.mean(K.maximum(q*e, (q-1)*e))

下面，对这两种形式和检索的损失函数对应分析。

2. 分位数回归

分位数回归是统计学和计量经济学中使用的一种回归分析。最小二乘方法估计的是预测变量的条件平均值，而分位数回归估计的是响应变量的条件中位数(或其他分位数)。分位数回归是线性回归的一种扩展，当线性回归的条件不满足时可以使用分位数回归。

关于什么是分位数回归以及分位数回归的推导，下面这些博客或多或少有介绍，但鲜有对损失函数的实现解析。

分位数回归
分位数回归（quantile regression）简介和代码实现
分位数回归（Quantile Regression）
如何简单明了地理解分位数回归？

在此，本文不再赘述分位数回归理论，重点讲解分位数回归损失函数的代码实现，以及它们的不同形式。

3. 分位数回归损失函数

分位数回归时，所使用的损失函数有这么几种表达形式：

Lγ=∑i=yi<yip(γ−1)⋅∣yi−yip∣+∑i=yi≥yip(γ)⋅∣yi−yip∣L_\gamma=\sum_{i=y_i<y_i^p}(\gamma-1) \cdot\left|y_i-y_i^p\right|+\sum_{i=y_i \geq y_i^p}(\gamma) \cdot\left|y_i-y_i^p\right|Lγ=∑i=yi<yip(γ−1)⋅∣yi−yip∣+∑i=yi≥yip(γ)⋅∣yi−yip∣
来源于回归问题中5种常用损失函数。
Lquantile =1N∑i=1NⅡy>f(x)(1−γ)∣y−f(x)∣+Ⅱy<f(x)γ∣y−f(x)∣L_{\text {quantile }}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Ⅱ_{y>f(x)}(1-\gamma)|y-f(x)|+Ⅱ_{y<f(x)} \gamma|y-f(x)|Lquantile =N1∑i=1NⅡy>f(x)(1−γ)∣y−f(x)∣+Ⅱy<f(x)γ∣y−f(x)∣
来源于回归损失函数2 ： HUber loss,Log Cosh Loss,以及 Quantile Loss和损失函数 Loss Function 之分位数损失 Quantile Loss

式中，yiy_iyi是真实值，ypy^pyp或者f(x)f(x)f(x)为预测值。两式子表示yyy全部取值的分位数损失。

但是，离散随机变量而言，我们经过推导，通过将y−yp{\displaystyle y-y^p}y−yp相对于yp{ y^p}yp的预期损失最小化，可以找到特定的分位数，来源于《QUANTILE REGRESSION》5-6页。可以发现，损失函数是如下形式的：
Lγ=(γ−1)N∑yi<yp(yi−yp)+γN∑yi≥yp(yi−yp)(1)L_\gamma=\frac{(\gamma-1)}{N} \sum_{y_i<y^p}\left(y_i-y^p\right)+\frac{\gamma}{N} \sum_{y_i \geq y^p}\left(y_i-y^p\right) \tag{1} Lγ=N(γ−1)yi<yp∑(yi−yp)+Nγyi≥yp∑(yi−yp)(1)

不是上述两式子中的任何一个，因为，他们并不包含绝对值。但是可以将(γ−1)(\gamma - 1)(γ−1)放入在求和号内。

4. (γ−1)(\gamma - 1)(γ−1)的放入

需要注意的是，式(1)，两个求和号是满足条件的求和。

对于单个值，其分位数损失计算方式，按照上式执行。令yi−yip=δyy_i-y_i^p=\delta yyi−yip=δy，当δy<0\delta y<0δy<0
ργ(δy)=(γ−1)⋅δy=(1−γ)(−δy)=(1−γ)∣δy∣(2)\rho _{\gamma}(\delta y)=(\gamma-1)\cdot \delta y=(1-\gamma) (-\delta y)=(1-\gamma )|\delta y| \tag{2} ργ(δy)=(γ−1)⋅δy=(1−γ)(−δy)=(1−γ)∣δy∣(2)

当δy>0\delta y>0δy>0：
ργ(δy)=γ⋅δy(3)\rho_{\gamma}(\delta y)= \gamma \cdot\delta y \tag{3} ργ(δy)=γ⋅δy(3)
因此，对于NNN个随机变量，他们的总共的分位数损失为：
Lγ=1N[∑i=yi<yip(1−γ)⋅∣yi−yip∣+∑i=yi>yipγ⋅∣yi−yip∣](4)L_\gamma = \frac{1}{N} \left[\sum_{i=y_i < y_i^p} (1-\gamma) \cdot\left|y_i-y_i^p\right|+\sum_{i=y_i > y_i^p}\gamma \cdot\left|y_i-y_i^p\right|\right] \tag{4} Lγ=N1⎣⎡i=yi<yip∑(1−γ)⋅∣yi−yip∣+i=yi>yip∑γ⋅∣yi−yip∣⎦⎤(4)

5. 程序代码表达

为了最大化的利用 Python 中 Torch 或者 Keras 的函数库，方便自动求导，我们可以将条件求和变为取最大值函数。
同样，我们令yi−yip=δyy_i-y_i^p=\delta yyi−yip=δy，上式用伪代码可以写为：

mean(max{tau*dy, (tau-1)*dy})

当δy<0\delta y<0δy<0时，是取得 (tau-1)*dy ，也就是ργ(δy)=(γ−1)⋅δy\rho_{\gamma}(\delta y)=(\gamma-1)\cdot \delta yργ(δy)=(γ−1)⋅δy ；
当δy>0\delta y>0δy>0时，是取得 tau*dy ，也就是ργ(δy)=γ⋅δy\rho_{\gamma}(\delta y)= \gamma \cdot\delta yργ(δy)=γ⋅δy ；
最后求和取均值，得到最终的LγL_\gammaLγ。因此，利用程序，即可表达为：

def quantile_loss(q, y, y_p):e = y-y_preturn tf.keras.backend.mean(tf.keras.backend.maximum(q*e, (q-1)*e))

同理，下面的代码也是等效的：

import keras.backend as Kdef QR_error(y_true, y_pred, tau):dy = y_pred - y_truereturn K.mean((1.0 - tau) * K.relu(dy) + tau * K.relu(-dy), axis=-1)

不过，一定注意，dy的定义，dy = y_pred - y_true和e = y-y_p刚好相反，因此，代码中tau-1也要反过来。

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