第一章-一大波数正在靠近——排序

第1节最快最简单的排序——桶排序
第2节邻居好说话——冒泡排序
第3节最常用的排序——快速排序
第4节小哼买书

第1节最快最简单的排序——桶排序

在我们生活的这个世界中到处都是被排序过的东东。站队的时候会按照身高排序，考试的名次需要按照分数排序，网上购物的时候会按照价格排序，电子邮箱中的邮件按照时间排序……总之很多东东都需要排序，可以说排序是无处不在。现在我们举个具体的例子来介绍一下排序算法。
首先出场的是我们的主人公小哼，上面这个可爱的娃就是啦。期末考试完了老师要将同学们的分数按照从高到低排序。小哼的班上只有 5 个同学，这 5 个同学分别考了 5 分、3 分、5 分、2 分和 8 分，哎考得真是惨不忍睹（满分是 10 分）。接下来将分数进行从大到小排序，排序后是 8 5 5 3 2。你有没有什么好方法编写一段程序，让计算机随机读入 5 个数然后将这5 个数从大到小输出？
首先我们需要申请一个大小为 11 的数组 int a[11]。OK，现在你已经有了 11 个变量，编号从 a[0]~a[10]。刚开始的时候，我们将 a[0]~a[10]都初始化为 0，表示这些分数还都没有人得过。例如 a[0]等于 0 就表示目前还没有人得过 0 分，同理 a[1]等于 0 就表示目前还没有人得过 1 分……a[10]等于 0 就表示目前还没有人得过 10 分。

下面开始处理每一个人的分数，第一个人的分数是 5 分，我们就将相对应的 a[5]的值在原来的基础增加 1，即将 a[5]的值从 0 改为 1，表示 5 分出现过了一次。

第二个人的分数是 3 分，我们就把相对应的 a[3]的值在原来的基础上增加 1，即将 a[3]的值从 0 改为 1，表示 3 分出现过了一次。

注意啦！第三个人的分数也是 5 分，所以 a[5]的值需要在此基础上再增加 1，即将 a[5]的值从 1 改为 2，表示 5 分出现过了两次。

按照刚才的方法处理第四个和第五个人的分数。最终结果就是下面这个图啦。

你发现没有，a[0]~a[10]中的数值其实就是 0 分到 10 分每个分数出现的次数。接下来，我们只需要将出现过的分数打印出来就可以了，出现几次就打印几次，具体如下。
a[0]为 0，表示“0”没有出现过，不打印。
a[1]为 0，表示“1”没有出现过，不打印。
a[2]为 1，表示“2”出现过 1 次，打印 2。
a[3]为 1，表示“3”出现过 1 次，打印 3。
a[4]为 0，表示“4”没有出现过，不打印。
a[5]为 2，表示“5”出现过 2 次，打印 5 5。
a[6]为 0，表示“6”没有出现过，不打印。
a[7]为 0，表示“7”没有出现过，不打印。
a[8]为 1，表示“8”出现过 1 次，打印 8。
a[9]为 0，表示“9”没有出现过，不打印。
a[10]为 0，表示“10”没有出现过，不打印。
最终屏幕输出“2 3 5 5 8”，完整的代码如下。

n = int(input("请输入分数的数量："))
list_tong = [0 for i in range(11)]
score = list(map(int, input("请输入分数：").split()))  # 存分数的列表
for i in range(len(score)):  # 将数据出现的次数存储到桶中list_tong[score[i]] += 1
for i in range(len(list_tong)):  # 循环遍历桶中存放到数据for j in range(list_tong[i]):  # 根据桶中存放到数据循环打印print(i, end=" ")

仔细观察的同学会发现，刚才实现的是从小到大排序。但是我们要求是从大到小排序，这该怎么办呢？

n = int(input("请输入分数的数量："))
list_tong = [0 for i in range(11)]
score = list(map(int, input("请输入分数：").split()))  # 存分数的列表
for i in range(len(score)):  # 将数据出现的次数存储到桶中list_tong[score[i]] += 1
for i in range(-1, -12, -1):  # i为列表的逆序位置for j in range(list_tong[i]):  # 根据桶中存放到数据循环打印print(len(list_tong)+i, end=" ")  # 正序i-逆序i = 列表长度

这种排序方法我们暂且叫它“桶排序”。因为其实真正的桶排序要比这个复杂一些，以后再详细讨论，目前此算法已经能够满足我们的需求了。
这个算法就好比有 11 个桶，编号从 0~10。每出现一个数，就在对应编号的桶中放一个小旗子，最后只要数数每个桶中有几个小旗子就 OK 了。例如 2 号桶中有 1 个小旗子，表示2 出现了一次；3 号桶中有 1 个小旗子，表示 3 出现了一次；5 号桶中有 2 个小旗子，表示 5出现了两次；8 号桶中有 1 个小旗子，表示 8 出现了一次。

现在你可以尝试一下输入 n 个 0-1000 之间的整数，将它们从大到小排序。提醒一下，如果需要对数据范围在 0~1000 之间的整数进行排序，我们需要 1001 个桶，来表示 0-1000之间每一个数出现的次数，这一点一定要注意。代码实现如下。

n = int(input("请输入分数的数量："))
list_tong = [0 for i in range(1001)]
score = list(map(int, input("请输入分数：").split()))  # 存分数的列表
for i in range(len(score)):  # 将数据出现的次数存储到桶中list_tong[score[i]] += 1
for i in range(-1, -1002, -1):  # i为列表的逆序位置for j in range(list_tong[i]):  # 根据桶中存放到数据循环打印print(len(list_tong)+i, end=" ")  # 正序i-逆序i = 列表长度

可以输入以下数据进行验证。

10
8 100 50 22 15 6 1 1000 999 0

运行结果是：

1000 999 100 50 22 15 8 6 1 0

最后来说下时间复杂度的问题。代码中第 2 行的循环一共循环了 m 次（m 为桶的个数），第 4 行的代码循环了 n 次（n 为待排序数的个数），第 6行和第 7行一共循环了 m+n 次。所以整个排序算法一共执行了 m+n+m+n 次。我们用大写字母 O 来表示时间复杂度，因此该算法的时间复杂度是 O(m+n+m+n)即 O(2*(m+n))。我们在说时间复杂度的时候可以忽略较小的常数，最终桶排序的时间复杂度为 O(m+n)。还有一点，在表示时间复杂度的时候，n 和 m通常用大写字母即 O(M+N)。
这是一个非常快的排序算法。桶排序从 1956 年就开始被使用，该算法的基本思想是由E.J.Issac 和 R.C.Singleton 提出来的。之前我说过，其实这并不是真正的桶排序算法，真正的桶排序算法要比这个更加复杂。但是考虑到此处是算法讲解的第一篇，我想还是越简单易懂越好，真正的桶排序留在以后再聊吧。需要说明一点的是：我们目前学习的简化版桶排序算法，其本质上还不能算是一个真正意义上的排序算法。为什么呢？例如遇到下面这个例子就没辙了。
现在分别有 5 个人的名字和分数：huhu 5 分、haha 3 分、xixi 5 分、hengheng 2 分和 gaoshou 8 分。请按照分数从高到低，输出他们的名字。即应该输出 gaoshou、huhu、xixi、haha、hengheng。发现问题了没有？如果使用我们刚才简化版的桶排序算法仅仅是把分数进行了排序。最终输出的也仅仅是分数，但没有对人本身进行排序。也就是说，我们现在并不知道排序后的分数原本对应着哪一个人！这该怎么办呢？？不要着急，请看下节——冒泡排序。

第2节邻居好说话——冒泡排序

简化版的桶排序不仅仅有上一节所遗留的问题，更要命的是：它非常浪费空间！例如需要排序数的范围是 0~2100000000 之间，那你则需要申请 2100000001 个变量，也就是说要写成 int a[2100000001]。因为我们需要用 2100000001 个“桶”来存储 0~2100000000 之间每一个数出现的次数。即便只给你 5 个数进行排序（例如这 5 个数是 1、1912345678、2100000000、18000000 和 912345678），你也仍然需要 2100000001 个“桶”，这真是太浪费空间了！还有，如果现在需要排序的不再是整数而是一些小数，比如将 5.56789、2.12、1.1、3.123、4.1234这五个数进行从小到大排序又该怎么办呢？现在我们来学习另一种新的排序算法：冒泡排序。它可以很好地解决这两个问题。
冒泡排序的基本思想是：每次比较两个相邻的元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
例如我们需要将 12 35 99 18 76 这 5 个数进行从大到小的排序。既然是从大到小排序，也就是说越小的越靠后，你是不是觉得我在说废话，但是这句话很关键(∩_∩)。
首先比较第 1 位和第 2 位的大小，现在第 1 位是 12，第 2 位是 35。发现 12 比 35 要小，因为我们希望越小越靠后嘛，因此需要交换这两个数的位置。交换之后这 5 个数的顺序是35 12 99 18 76。
按照刚才的方法，继续比较第 2 位和第 3 位的大小，第 2 位是 12，第 3 位是 99。12 比 99 要小，因此需要交换这两个数的位置。交换之后这 5 个数的顺序是 35 99 12 18 76。
根据刚才的规则，继续比较第 3 位和第 4 位的大小，如果第 3 位比第 4 位小，则交换位置。交换之后这 5 个数的顺序是 35 99 18 12 76。
最后，比较第 4 位和第 5 位。4 次比较之后 5 个数的顺序是 35 99 18 76 12。
经过 4 次比较后我们发现最小的一个数已经就位（已经在最后一位，请注意 12 这个数的移动过程），是不是很神奇。
每次都是比较相邻的两个数，如果后面的数比前面的数大，则交换这两个数的位置。一直比较下去直到最后两个数比较完毕后，最小的数就在最后一个了。就如同是一个气泡，一步一步往后“翻滚”，直到最后一位。所以这个排序的方法有一个很好听的名字"冒泡排序"

说到这里其实我们的排序只将 5 个数中最小的一个归位了。每将一个数归位我们将其称为“一趟”。下面我们将继续重复刚才的过程，将剩下的 4 个数一一归位。
好，现在开始“第二趟”，目标是将第 2 小的数归位。首先还是先比较第 1 位和第 2 位，如果第 1 位比第 2 位小，则交换位置。交换之后这 5 个数的顺序是 99 35 18 76 12。接下来你应该都会了，依次比较第 2 位和第 3 位，第 3 位和第 4 位。注意此时已经不需要再比较第 4位和第 5 位。因为在第一趟结束后已经可以确定第 5 位上放的是最小的了。第二趟结束之后这 5 个数的顺序是 99 35 76 18 12。
“第三趟”也是一样的。第三趟之后这 5 个数的顺序是 99 76 35 18 12。
现在到了最后一趟“第四趟”。有的同学又要问了，这不是已经排好了吗？还要继续？当然，这里纯属巧合，你若用别的数试一试可能就不是了。
“冒泡排序”的原理是：每一趟只能确定将一个数归位。即第一趟只能确定将末位上的数（即第 5 位）归位，第二趟只能将倒数第 2 位上的数（即第 4 位）归位，第三趟只能将倒数第 3 位上的数（即第 3 位）归位，而现在前面还有两个位置上的数没有归位，因此我们仍然需要进行“第四趟”。
“第四趟”只需要比较第 1 位和第 2 位的大小。因为后面三个位置上的数归位了，现在第 1 位是 99，第 2 位是 76，无需交换。这 5 个数的顺序不变仍然是 99 76 35 18 12。到此排序完美结束了，5 个数已经有 4 个数归位，那最后一个数也只能放在第 1 位了。
最后我们总结一下：如果有 n 个数进行排序，只需将 n1 个数归位，也就是说要进行n-1 趟操作。而“每一趟”都需要从第 1 位开始进行相邻两个数的比较，将较小的一个数放在后面，比较完毕后向后挪一位继续比较下面两个相邻数的大小，重复此步骤，直到最后一个尚未归位的数，已经归位的数则无需再进行比较（已经归位的数你还比较个啥，浪费表情）。

n = int(input("请输入数字的数量："))
score = list(map(int, input("请分别输入数字：").split()))
if n == len(score):for i in range(len(score)-1):  # n个数排序，只需要进行n-1趟for j in range(n-1-i):  # 从第一位开始，每位需要进行n-i-1次if score[j] < score[j+1]:  # 比较大小并进行交换score[j], score[j+1] = score[j+1], score[j]
for i in score:print(i, end=" ")

可以输入以下数据进行验证。

10
8 100 50 22 15 6 1 1000 999 0

运行结果是：

0 1 6 8 15 22 50 100 999 1000

将上面代码稍加修改，就可以解决第 1 节遗留的问题，如下。

class Student:def __init__(self, name, score):self.name = nameself.score = score
n = int(input("请输入总人数："))
duixiang = []
for i in range(n):name, score = input("请输入学生姓名和分数：").split()score = float(score)duixiang.append(Student(name, score))
duixiang.sort(key=lambda x: x.score, reverse=True)
for i in duixiang:print(i.name)

可以输入以下数据进行验证。

5
huhu 5
haha 3
xixi 5
hengheng 2
gaoshou 8

运行结果是：

gaoshou
huhu
xixi
haha
hengheng

冒泡排序的核心部分是双重嵌套循环。不难看出冒泡排序的时间复杂度是 O(N 2)。这是一个非常高的时间复杂度。

第3节最常用的排序——快速排序

上一节的冒泡排序可以说是我们学习的第一个真正的排序算法，并且解决了桶排序浪费空间的问题，但在算法的执行效率上却牺牲了很多，它的时间复杂度达到了 O(N2)。假如我们的计算机每秒钟可以运行 10 亿次，那么对 1 亿个数进行排序，桶排序只需要 0.1 秒，而冒泡排序则需要 1 千万秒，达到 115 天之久，是不是很吓人？那有没有既不浪费空间又可以快一点的排序算法呢？那就是“快速排序”啦！光听这个名字是不是就觉得很高端呢？
假设我们现在对“6 1 2 7 9 3 4 5 10 8”这 10 个数进行排序。首先在这个序列中随便找一个数作为基准数（不要被这个名词吓到了，这就是一个用来参照的数，待会儿你就知道它用来做啥了）。为了方便，就让第一个数 6 作为基准数吧。接下来，需要将这个序列中所有比基准数大的数放在 6 的右边，比基准数小的数放在 6 的左边，类似下面这种排列。
3 1 2 5 4 6 9 7 10 8
方法其实很简单：分别从初始序列“6 1 2 7 9 3 4 5 10 8”两端开始“探测”。先从右往左找一个小于 6 的数，再从左往右找一个大于 6 的数，然后交换它们。这里可以用两个变量 i 和 j，分别指向序列最左边和最右边。我们为这两个变量起个好听的名字“哨兵 i”和
“哨兵 j”。刚开始的时候让哨兵 i 指向序列的最左边（即 i=1），指向数字 6。让哨兵 j 指向序列的最右边（即 j=10），指向数字 8。

首先哨兵 j 开始出动。因为此处设置的基准数是最左边的数，所以需要让哨兵 j 先出动，这一点非常重要（请自己想一想为什么）。哨兵 j 一步一步地向左挪动，直到找到一个小于 6 的数停下来。接下来哨兵 i 再一步一步向右挪动，直到找到一个大于 6的数停下来。最后哨兵 j 停在了数字 5 面前，哨兵 i 停在了数字 7 面前。

现在交换哨兵 i 和哨兵 j 所指向的元素的值。交换之后的序列如下。
6 1 2 5 9 3 4 7 10 8
到此，第一次交换结束。接下来哨兵 j 继续向左挪动（再次友情提醒，每次必须是哨兵j 先出发）。他发现了 4（比基准数 6 要小，满足要求）之后停了下来。哨兵 i 也继续向右挪动，他发现了 9（比基准数 6 要大，满足要求）之后停了下来。此时再次进行交换，交换之后的序列如下。
6 1 2 5 4 3 9 7 10 8

第二次交换结束，“探测”继续。哨兵 j 继续向左挪动，他发现了 3（比基准数 6 要小，满足要求）之后又停了下来。哨兵 i 继续向右移动，糟啦！此时哨兵 i 和哨兵 j 相遇了，哨兵 i 和哨兵 j 都走到 3 面前。说明此时“探测”结束。我们将基准数 6 和 3 进行交换。交换之后的序列如下。
3 1 2 5 4 6 9 7 10 8

到此第一轮“探测”真正结束。此时以基准数 6 为分界点，6 左边的数都小于等于 6，6右边的数都大于等于 6。
现在基准数 6 已经归位，它正好处在序列的第 6 位。此时我们已经将原来的序列，以 6 为分界点拆分成了两个序列，左边的序列是“3 1 2 5 4”，右边的序列是“9 7 10 8”。接下来还需要分别处理这两个序列，因为 6 左边和右边的序列目前都还是很混乱的。不过不要紧，我们已经掌握了方法，接下来只要模拟刚才的方法分别处理 6 左边和右边的序列即可。

def QuickSort(nums, left, right):if left < right:mid = nums[left]i = leftj = rightwhile i != j:while j > i and nums[j] >= mid:j -= 1while i < j and nums[i] <= mid:i += 1nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]nums[j], nums[left] = nums[left], nums[j]QuickSort(nums, left, i-1)QuickSort(nums, i+1, right)
import random
data = [random.randint(-100, 100) for _ in range(10)]  # 此处可以自己尝试用一组固定的数据来进行测试
QuickSort(data, 0, len(data)-1)
print(data)

第4节小哼买书

现在来看一个具体的例子“小哼买书”（根据全国青少年信息学奥林匹克联赛 NOIP2006 普及组第一题改编），来实践一下本章所学的三种排序算法。

小哼的学校要建立一个图书角，老师派小哼去找一些同学做调查，看看同学们都喜欢读哪些书。小哼让每个同学写出一个自己最想读的书的 ISBN 号（你知道吗？每本书都有唯一的 ISBN 号，不信的话你去找本书翻到背面看看）。当然有一些好书会有很多同学都喜欢，这样就会收集到很多重复的 ISBN 号。小哼需要去掉其中重复的 ISBN 号，即每个 ISBN 号只保留一个，也就说同样的书只买一本（学校真是够抠门的）。然后再把这些 ISBN 号从小到大排序，小哼将按照排序好的 ISBN 号去书店买书。请你协助小哼完成“去重”与“排序”的工作。
输入有 2 行，第 1 行为一个正整数，表示有 n 个同学参与调查（n≤100）。第 2 行有 n个用空格隔开的正整数，为每本图书的 ISBN 号（假设图书的 ISBN 号在 1~1000 之间）。
输出也是 2 行，第 1 行为一个正整数 k，表示需要买多少本书。第 2 行为 k 个用空格隔开的正整数，为从小到大已排好序的需要购买的图书的 ISBN 号。
例如输入：

10
20 40 32 67 40 20 89 300 400 15

则输出：

8
15 20 32 40 67 89 300 400

解决这个问题的方法大致有两种。第一种方法：先将这 n 个图书的 ISBN 号去重，再进行从小到大排序并输出；第二种方法：先从小到大排序，输出的时候再去重。这两种方法都可以。

n = int(input("请输入参与调查的人数："))
list_chu = list(map(int, input("请输入图书的ISBN号").split()))
list_tong = [0 for i in range(1, 1001)]
if n == len(list_chu):for j in list_chu:list_tong[j+1] += 1for k in range(len(list_tong)):if list_tong[k] != 0:print(k-1, end=" ")

这种方法的时间复杂度就是桶排序的时间复杂度，为 O(N+M)。
第二种方法我们需要先排序再去重。排序我们可以用冒泡排序或者快速排序。

# 冒泡排序
n = int(input("请输入参与调查的人数："))
list_chu = list(map(int, input("请输入图书的ISBN号").split()))
for i in range(n-1):for j in range(n-1-i):if list_chu[j] > list_chu[j+1]:list_chu[j], list_chu[j+1] = list_chu[j+1], list_chu[j]
for k in range(len(list_chu)):if list_chu[k] != list_chu[k-1]:print(list_chu[k], end=" ")

这种方法的时间复杂度由两部分组成，一部分是冒泡排序的时间复杂度，是O (N²)，另一部分是读入和输出，都是 O(N)，因此整个算法的时间复杂度是 O(2N+N²)。相对于 N²来说，2N 可以忽略（我们通常忽略低阶），最终该方法的时间复杂度是 O(N²)。

# 快速排序
def QuickSort(nums, left, right):if left < right:mid = nums[left]i = leftj = rightwhile i != j:while j > i and nums[j] >= mid:j -= 1while i < j and nums[i] <= mid:i += 1nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]nums[j], nums[left] = nums[left], nums[j]QuickSort(nums, left, i-1)QuickSort(nums, i+1, right)
n = int(input("请输入参与调查的人数："))
list_chu = list(map(int, input("请输入图书的ISBN号").split()))
QuickSort(list_chu, 0, len(list_chu)-1)
for k in range(len(list_chu)):if list_chu[k] != list_chu[k-1]:print(list_chu[k], end=" ")

我们来回顾一下本章三种排序算法的时间复杂度。桶排序是最快的，它的时间复杂度是O(N+M)；冒泡排序是 O(N²)；快速排序是 O(NlogN)。

# 最后附上不想学算法的我的代码：
n = int(input("请输入参与调查的人数："))
list_chu = list(map(int, input("请输入图书的ISBN号").split()))
list_chu.sort()
for k in range(len(list_chu)):if list_chu[k] != list_chu[k-1]:print(list_chu[k], end=" ")

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