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0 少女觉
1 灵知的太阳信仰
2 多段线性函数
3 DY引擎
- 差分约束系统
我很喜欢你，我会一直喜欢你到你不再需要我喜欢你为止。——顾飞

0 少女觉

在幽暗的地灵殿中，居住着一位少女，名为古明地觉。
据说，从来没有人敢踏入过那座地灵殿，因为人们恐惧于觉一族拥有的能力——读心。
掌控人心者，可控天下。

咳咳。
人的记忆可以被描述为一个黑块(B)与白块(W)的序列，其中情感值被定义为序列中黑块数量与白块数量之比。
小五口在发动读心术时，首先要解析人的记忆序列，因此，需要将序列分割为一些段，并且要求每一段记忆序列的情感值都相等。
下面给出两个例子：
BWWWBB -> BW + WWBB (Ratio=1:1)
WWWBBBWWWWWWWWWB -> WWWB + BBWWWWWW + WWWB (Ratio=3:1)
现在小五手上有一个人的记忆序列，她想要知道，如何将手中的记忆序列分成尽可能多的段呢？

对于10%的数据，n<=15
对于20%的数据，n<=500
另有30%的数据，K=1
另有30%的数据，K<=50
对于100%的数据，N<=10^5 ，序列长度不超过10^9
保证对于全部测试点，输入文件行数不超过2.5*10^6

可以发现黑块与白块的比是确定的，是所有黑块比上所有白块，因而每一个小序列的比就是这个总比值

那么就按读入顺序往下做，每次一满足比值就马上记录答案

#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;int t,n,ans;
long long suma,sumb,wa,wb,p;
int a[100005],b[100005];void read(int i){char ch=getchar();a[i]=0;while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();while (ch>='0'&&ch<='9'){a[i]=a[i]*10+ch-'0';ch=getchar();}while (ch!='B'&&ch!='W') ch=getchar();if (ch=='B') b[i]=1,sumb+=a[i]; else b[i]=0,suma+=a[i];
}long long pk(long long s,long long a,long long b){if ((a*s)%b==0) return (a*s)/b; else return -1;
}int main(){freopen("silly.in","r",stdin);freopen("silly.out","w",stdout);scanf("%d",&t);for (;t;t--){scanf("%d",&n);suma=0,sumb=0,ans=0;for (int i=1;i<=n;i++){read(i);}if (suma==0||sumb==0){printf("%d\n",max(suma,sumb));continue;}wa=0;wb=0;for (int i=1;i<=n;i++){if (b[i]==0) {long long p=pk(wb,suma,sumb);if (p>wa&&p<=wa+a[i]) ans++;wa+=a[i];}else {long long p=pk(wa,sumb,suma);if (p>wb&&p<=wb+a[i]) ans++;wb+=a[i];}}printf("%d\n",ans); }
}

1 灵知的太阳信仰

在炽热的核熔炉中，居住着一位少女，名为灵乌路空。
据说，从来没有人敢踏入过那个熔炉，因为人们畏缩于空所持有的力量——核能。
核焰，可融真金。

咳咳。
每次核融的时候，空都会选取一些原子，排成一列。然后，她会将原子序列分成一些段，并将每段进行一次核融。
一个原子有两个属性：质子数和中子数。
每一段需要满足以下条件：
1、同种元素会发生相互排斥，因此，同一段中不能存在两个质子数相同的原子。
2、核融时，空需要对一段原子加以防护，防护罩的数值等于这段中最大的中子数。换句话说，如果这段原子的中子数最大为x，那么空需要付出x的代价建立防护罩。求核融整个原子序列的最小代价和。

设 f[i] 为 i 与 i+1 之间分开，到i为止的代价和
预处理出 l[i] 表示 i 最早的相同质子数的位置
易得f[i]=min(f[j]+b[j+1——i])，l[i]<j<=if[i]=min(f[j]+b[j+1 ——i])，l[i]<j<=if[i]=min(f[j]+b[j+1——i])，l[i]<j<=i，这样的转移是O(n2)O(n^2)O(n2)的

可以用单调队列维护合法的点组成的队列，每次更新f[i]只需循环合法的点，每次又都取出不合法的点
因为前一个点不能转移的点，后一个点也不能通过这个点转移来

（因为可能TLE所以稍微卡了个常？）
比如register , 快读，if 改为（xx条件xx？xx:xx）

#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=100005;
const int inf=2000000000;
int n;
int l[N],p[N],w[N];
int f[N],e[N];int read(){char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();int x=0;while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x;
}int main(){freopen("array.in","r",stdin);freopen("array.out","w",stdout);n=read();int ab;for (register int i=1;i<=n;i++){ab=read();w[i]=read();l[i]=(l[i-1]>p[ab]?l[i-1]:p[ab]),p[ab]=i,f[i]=inf;}int h=1,t=1;f[1]=w[1],e[1]=1;for (register int i=2;i<=n;i++){while (h<=t&&e[h]<=l[i]) ++h;while (h<=t&&w[i]>w[e[t]]) --t;e[++t]=i;for (int j=h+1;j<=t;j++)f[i]=(f[i]>f[e[j-1]]+w[e[j]]?f[e[j-1]]+w[e[j]]:f[i]); f[i]=(f[i]>f[l[i]]+w[e[h]]?f[l[i]]+w[e[h]]:f[i]);} printf("%d",f[n]);
}

2 多段线性函数

哎嗨，据dalao言此题是为阅读题

就，题目的函数公式，相当于y到每个区间的距离
因为要求的函数值尽可能小，所以当y在区间内xi肯定是取y ，这时对函数值无贡献；当y不在区间内xi也一定是取与y更近的端点
所以就只与端点有关

就把所有端点堆一起排个序，取中间两个就是答案
啊哈，中位数

#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;int n;
int a[200005];int main(){freopen("linear.in","r",stdin);freopen("linear.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i],&a[i+n]);sort(a+1,a+1+n*2);printf("%d %d",a[n],a[n+1]);
}

3 DY引擎

BOSS送给小唐一辆车。小唐开着这辆车从PKU出发去ZJU上课了。

众所周知，天朝公路的收费站超多的。经过观察地图，小唐发现从PKU出发到ZJU的所有路径只会有N（2<=N<=300）个不同的中转点，其中有M（max(0, N-100) <=M<=N）个点是天朝的收费站。N个中转点标号为1…N，其中1代表PKU，N代表ZJU。中转点之间总共有E（E<=50,000）条双向边连接。

每个点还有一个附加属性，用0/1标记，0代表普通中转点，1代表收费站。当然，天朝的地图上面是不会直接告诉你第i个点是普通中转点还是收费站的。地图上有P（1<=P<=3,000）个提示，用[u, v, t]表示：[u, v]区间的所有中转点中，至少有t个收费站。数据保证由所有提示得到的每个点的属性是唯一的。

车既然是BOSS送的，自然非比寻常了。车子使用了世界上最先进的DaxiaYayamao引擎，简称DY引擎。DY引擎可以让车子从U瞬间转移到V，只要U和V的距离不超过L（1<=L<=1,000,000），并且U和V之间不能有收费站（小唐良民一枚，所以要是经过收费站就会停下来交完钱再走）。

DY引擎果然是好东西，但是可惜引擎最多只能用K（0<=K<=30）次。

这题可以拆分成两部分，找出收费站和找出最短路

其中找出收费站需要用到差分约束系统

差分约束系统

用于题目给出形如：a[i]−a[j]<=ka[i]-a[j]<=ka[i]−a[j]<=k 的约束条件，求a[i]a[i]a[i]状态

首先我们荡开笔墨，先假设我们有一张有向图，已经求出了最短路，a[i]a[i]a[i]表示从1到i的最短路
现在有一条i到j的边，表示为dis[i][j]dis[i][j]dis[i][j]
当然有a[j]−a[i]<=dis[i][j]a[j]-a[i]<=dis[i][j]a[j]−a[i]<=dis[i][j]

那么我们反过来，回到给出的约束条件a[i]−a[j]<=ka[i]-a[j]<=ka[i]−a[j]<=k，就相当于从j到i连一条权值为k的有向边
求出a[i]a[i]a[i]的状态当然也就是用最短路，快乐跑spfa

当然有很多题目不会直接给出约束条件，要自己从题目描述中找

再回到这道题
条件：[u, v]区间的所有中转点中，至少有t个收费站
设s[i]s[i]s[i]表示111到iii的收费站总数，则条件转化为s[v]−s[u−1]>=ts[v]-s[u-1]>=ts[v]−s[u−1]>=t
再移下项，就是s[u−1]−s[v]<=ts[u-1]-s[v]<=ts[u−1]−s[v]<=t
这就相当于差分约束系统的条件了，求出s[i]s[i]s[i]状态后s[i]−s[i−1]s[i]-s[i-1]s[i]−s[i−1]即为iii是否有收费站

然后就是用最短路跑DP啦
跑这个最短路呢，要记录第几个点，跳了几次

#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;const int N=50002;
int n,m,e,p,l,k;
int ls[305],ne[N],y[N],w[N],bz[305],cnt;
int s[305],v[N*10],g[N*10],b[N][35],d[N*10];
int f[305][35],a[305][305];void ad(int _u,int _v,int _w){ne[++cnt]=ls[_u],ls[_u]=cnt,y[cnt]=_v,w[cnt]=_w;
}void spfa1(){memset(s,0x3f,sizeof s);for (int i=1;i<=n;i++)ad(i,i-1,0),ad(i-1,i,1);int h=0,t=1;v[1]=n;s[n]=m;bz[n]=1;while (h<t){int u=ls[v[++h]];while (u!=-1){if (s[v[h]]+w[u]<s[y[u]]){s[y[u]]=s[v[h]]+w[u];if (bz[y[u]]==0){bz[y[u]]=1;v[++t]=y[u];}}u=ne[u];}bz[v[h]]=0;}for (int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i]-s[i-1];
}void read(){scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&e,&p,&l,&k);memset(a,0x3f,sizeof a);for (int i=1;i<=e;i++){int u,_v,_w;scanf("%d%d%d",&u,&_v,&_w);if (_w<a[u][_v]) a[u][_v]=a[_v][u]=_w;}for (int i=0;i<=n;i++) ls[i]=-1;for (int i=1;i<=p;i++){int _u,_v,_t;scanf("%d%d%d",&_u,&_v,&_t);     ad(_v,_u-1,-_t);        }
}void floyed(){for (int k=1;k<=n;k++)for (int i=1;i<=n;i++)if (i!=k)for (int j=1;j<=n;j++)            if (i!=j&&j!=k&&s[k]==0&&a[i][k]!=a[0][0]&&a[k][j]!=a[0][0])a[i][j]=(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]?a[i][k]+a[k][j]:a[i][j]);
}void spfa2(){cnt=0;int h=0,t=1;memset(b,0,sizeof b);    memset(f,0x3f,sizeof f);b[1][0]=1,f[1][0]=0;v[1]=1,d[1]=0;while (h<t){int x=v[++h],y=d[h];for (int i=2;i<=n;i++)if (a[x][i]!=a[0][0]){if (f[x][y]+a[x][i]<f[i][y]){f[i][y]=f[x][y]+a[x][i];if (b[i][y]==0){b[i][y]=1;v[++t]=i;d[t]=y;}}if (y+1<=k&&a[x][i]<=l&&f[x][y]<f[i][y+1]){f[i][y+1]=f[x][y];if (b[i][y+1]==0){b[i][y+1]=1;v[++t]=i;d[t]=y+1;}}}b[x][y]=0;}
}void print(){int ans=1000000000;for (int i=0;i<=k;i++)ans=(ans>f[n][i]?f[n][i]:ans);printf("%d",ans);
}int main(){read();spfa1(); floyed();spfa2();   print();
}

我很喜欢你，我会一直喜欢你到你不再需要我喜欢你为止。——顾飞

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