1、建图

const int maxNum = 0x3f3f3f3f;  // 定义一个足够大的数，代表图中两顶点间无边
class graph
{
private:int V;
public:vector<vector<int> > g;graph(int V){this->V = V;// g为二维数组，里面每个元素初始化为无穷大g = vector<vector<int> >(V, vector<int>(V, maxNum));}~graph(){};int getV() { return V; }void addEdge(int s, int t, int w);
};
void graph::addEdge(int s, int t, int w) {g[s][t] = w;g[t][s] = w;
}

\quad 图有V个顶点，默认标号为0到V-1。这样，我们就可以通过调用addEdge给图添加从是s点到t点权重为w的一条边。
如果我们要建立如下图所示这样一个图，我们把a点看作0，b点看作7，则建图过程为：

int main()
{graph G(8);G.addEdge(0, 1, 2);G.addEdge(0, 2, 8);G.addEdge(0, 3, 1);G.addEdge(1, 2, 6);G.addEdge(1, 4, 1);G.addEdge(2, 3, 7);G.addEdge(2, 4, 4);G.addEdge(2, 5, 2);G.addEdge(2, 6, 2);G.addEdge(3, 6, 9);G.addEdge(4, 5, 3);G.addEdge(4, 7, 9);G.addEdge(5, 6, 4);G.addEdge(5, 7, 6);G.addEdge(6, 7, 2);return 0;
}

2、初始化和大体框架

\quad我们先来看看初始化和大体框架，最后再来写算法的核心部分。

class Dantjig
{
private:graph &G;int v;  // 起始点bool *visited;  // 判断顶点是否已标号int *t;  // 顶点的标号值，表示初始点到当前点的最短路长度vector<int> A;  // 访问过的顶点集合vector<pair<int, int> > T; // 访问过的边集合，用于输出路劲
public:Dantjig(graph &graph, int v): G(graph){// 初始化各个变量visited = new bool[G.getV()];t = new int[G.getV()];for (int i = 0; i < G.getV(); ++i) {visited[i] = false;t[i] = 0;}this->v = v;A.clear();_Dantjig(v); // 算法核心}~Dantjig(){delete[] visited;delete[] t;A.clear();T.clear();}void _Dantjig(int v);  // 申明算法// 返回v点到w点的最短距离int minLen(int w){return t[w];}// 找出顶点to对应的另一个顶点fromint getfrom(int to){for (int i = 0; i < T.size(); ++i) {if(T[i].second==to) return T[i].first;}}// 打印路径void showpath(int w){stack<int> s;int from = getfrom(w);while(from!=v){s.push(from);from = getfrom(from);}s.push(v);while(!s.empty()){cout << s.top() << "->";s.pop();}cout << w << endl;}
};

\quad在类的成员变量中A是已被标记的点，T是访问过的边的集合。上图中如果以a点为起点，b点为终点输入，运形程序后，T={(0,3)(0,1)(1,4)(4,5)(4,2)(2,6)(6,7)}T=\{(0,3) (0,1) (1,4) (4,5) (4,2) (2,6) (6,7)\}T={(0,3)(0,1)(1,4)(4,5)(4,2)(2,6)(6,7)}。getfrom函数就是找出T中一条边中后面一个点的前一个点。比如要找出7这个点对应的点6，就可以用getfrom得到。showpath即可从终点开始，在T中不断搜索前一个节点，存在栈stack中，之后输出即为起点到终点的路劲。

3、算法核心

void Dantjig::_Dantjig(int v) {A.push_back(v);if(A.size()==G.getV())  // 图中所有顶点均已标记，结束递归return;visited[v] = true;int minWeight = maxNum; // 存储当前结点下相邻节点中拥有的最短的边长度int minV;  // 存放下一个被标记的顶点int from, to;  // 记录路劲for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {for (int j = 0; j < G.getV(); ++j) {if(!visited[j] && G.g[A[i]][j]!=maxNum){int temp = t[A[i]];if(temp+G.g[A[i]][j] < minWeight){minWeight = temp+G.g[A[i]][j];minV = j;from = A[i];to = j;}}}}T.push_back(make_pair(from, to));t[minV] = minWeight;  // 更新起始点到该点的最短路劲值_Dantjig(minV);   // 递归调用即可
}

4、所有程序如下：

//
// Created by 程勇 on 2019/3/7.
//#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxNum = 0x3f3f3f3f;  // 定义一个足够大的数，代表图中两顶点间无边
class graph
{
private:int V;
public:vector<vector<int> > g;graph(int V){this->V = V;// g为二维数组，里面每个元素初始化为无穷大g = vector<vector<int> >(V, vector<int>(V, maxNum));}~graph(){};int getV() { return V; }void addEdge(int s, int t, int w);
};void graph::addEdge(int s, int t, int w) {g[s][t] = w;g[t][s] = w;
}class Dantjig
{
private:graph &G;int v;  // 起始点bool *visited;  // 判断顶点是否已标号int *t;  // 顶点的标号值，表示初始点到当前点的最短路长度vector<int> A;  // 访问过的顶点集合vector<pair<int, int> > T; // 访问过的边集合，用于输出路劲
public:Dantjig(graph &graph, int v): G(graph){// 初始化各个变量visited = new bool[G.getV()];t = new int[G.getV()];for (int i = 0; i < G.getV(); ++i) {visited[i] = false;t[i] = 0;}this->v = v;A.clear();_Dantjig(v); // 算法核心}~Dantjig(){delete[] visited;delete[] t;A.clear();T.clear();}void _Dantjig(int v);  // 申明算法// 返回v点到w点的最短距离int minLen(int w){return t[w];}// 找出顶点to对应的另一个顶点fromint getfrom(int to){for (int i = 0; i < T.size(); ++i) {if(T[i].second==to) return T[i].first;}}// 打印路径void showpath(int w){stack<int> s;int from = getfrom(w);while(from!=v){s.push(from);from = getfrom(from);}s.push(v);while(!s.empty()){cout << s.top() << "->";s.pop();}cout << w << endl;}
};void Dantjig::_Dantjig(int v) {A.push_back(v);if(A.size()==G.getV())  // 图中所有顶点均已标记，结束递归return;visited[v] = true;int minWeight = maxNum; // 存储当前结点下相邻节点中拥有的最短的边长度int minV;  // 存放下一个被标记的顶点int from, to;  // 记录路劲for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {for (int j = 0; j < G.getV(); ++j) {if(!visited[j] && G.g[A[i]][j]!=maxNum){int temp = t[A[i]];if(temp+G.g[A[i]][j] < minWeight){minWeight = temp+G.g[A[i]][j];minV = j;from = A[i];to = j;}}}}T.push_back(make_pair(from, to));t[minV] = minWeight;  // 更新起始点到该点的最短路劲值_Dantjig(minV);   // 递归调用即可
}int main()
{graph G(8);G.addEdge(0, 1, 2);G.addEdge(0, 2, 8);G.addEdge(0, 3, 1);G.addEdge(1, 2, 6);G.addEdge(1, 4, 1);G.addEdge(2, 3, 7);G.addEdge(2, 4, 4);G.addEdge(2, 5, 2);G.addEdge(2, 6, 2);G.addEdge(3, 6, 9);G.addEdge(4, 5, 3);G.addEdge(4, 7, 9);G.addEdge(5, 6, 4);G.addEdge(5, 7, 6);G.addEdge(6, 7, 2);Dantjig dantjig(G, 0);// 输出a到b（即0到7）的最短距离cout << dantjig.minLen(7) << endl;dantjig.showpath(7); // 打印路径return 0;
}

运行结果如下：

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图论（四）最短路算法Dantjig的实现

1、建图

2、初始化和大体框架

3、算法核心

4、所有程序如下：

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