图论：

【阿良的算法之路】图论最短路算法模板

【模板】dirjkstra单源最短路径

【模板】Bellman-Ford多源最短路

【模板】Spfa求最短路

【模板】Spfa判断负环

【模板】Floya

【模板】Kruskal最小生成树

【模板】dirjkstra单源最短路径

参考题目：

题目描述

给定一个 nn 个点，mm 条有向边的带非负权图，请你计算从 ss 出发，到每个点的距离。

数据保证你能从 ss 出发到任意点。

输入格式

第一行为三个正整数 n, m, sn,m,s。第二行起 mm 行，每行三个非负整数 u_i, v_i, w_iui,vi,wi，表示从 u_iui 到 v_ivi 有一条权值为 w_iwi 的有向边。

输出格式

输出一行 nn 个空格分隔的非负整数，表示 ss 到每个点的距离。

————————————————

import heapq
from collections import defaultdict
# 核心代码
def dirjkstra():# 各节点到start的最短距离dirs = [float('inf')] * (n + 1)dirs[start] = 0# 已用节点，比set还快20% 所有没有释放Falseseen = [False] * (n + 1)pq = []heapq.heappush(pq, (0, start))# BFSwhile pq:# 获取_, u = heapq.heappop(pq)# 该节点是否用过if seen[u]:continueelse:seen[u] = True# 找到邻接节点nodeList = graph[u]for v, w in nodeList:t = dirs[u] + wif t < dirs[v]:dirs[v] = t# 如果该邻接节点没有访问过才把该最短边加进去if not seen[v]:heapq.heappush(pq, (t, v))if dirs[-1] == float('inf'):return -1else:return dirs[-1]# 输入
n, m = map(int, input().split())# 初始化
start = 1# 建图
graph = defaultdict(list)
for _ in range(m):u, v, w = map(int, input().split())graph[u].append((v,w))answer = dirjkstra()
print(answer)

【模板】Bellman-Ford多源最短路

参考题目：

题目描述

给定一个 nn 个点 mm 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离，如果无法从 11 号点走到 nn 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,kn,m,k。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 x,y,zx,y,z，表示存在一条从点 xx 到点 yy 的有向边，边长为 zz。

输出格式

输出一个整数，表示从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤5001≤n,k≤500,
1≤m≤100001≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过 1000010000。

————————————————

# new_list = list ！！当list的值改变了new_list也会随着改变
# 正确做法： new_list = list(list)n, m, k = map(int, input().split())
edgeList = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]
dirs = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
dirs[1] = 0
for _ in range(k):back = list(dirs)for u, v, w in edgeList:dirs[v] = min(dirs[v], back[u] + w)
if dirs[-1] == float('inf'):print('impossible')
else:print(dirs[-1])

【模板】Spfa求最短路

题目描述：

给定一个n 个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。请你求出1号点到n 号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible 。数据保证不存在负权回路。

输入格式：

第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数a, y,z，表示存在一条从点α到点g的有向边，边长为z。

输出格式：

输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。如果路径不存在，则输出impossible。

数据范围：

输入样例：

输出样例：

————————————————

# 队列存储距离有更新的点
def spfa():dirs = [float('inf')] * (n + 1) # 存储到1节点的最短距离dirs[1] = 0             seen = [False] * (n + 1)    # 该节点是否在队列中q = [1]while len(q):u = q.pop(0)seen[u] = Falsefor v, w in g[u]:if dirs[u] + w < dirs[v]:dirs[v] = dirs[u] + w# 如果该邻接节点没有访问过才把该点加进去if not seen[v]:q.append(v)seen[v] = Trueif dirs[-1] == float('inf'):return 'impossible'else:return dirs[-1]# 建边
n, m = map(int, input().split())
g = {x: [] for x in range(1, n + 1)}
for _ in range(m):a, b, w = map(int, input().split())g[a].append((b, w))ans = spfa()
print(ans)

【模板】Spfa判断负环

题目描述：

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式：

第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x, y, z, 表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式：

如果图中存在负权回路，则输出Yes，否则输出No。

数据范围：

输入样例：

输出样例：

Yes

————————————————

from collections import deque, defaultdictdef spfa():dirs = [0] * (n + 1) # 表示的是1到s的最短距离           seen = [False] * (n + 1)    # 该节点是否走过cnt = [0] * (n + 1) #  表示的是当前最短路的边的数量q = deque([x for x in range(1, n + 1)])while len(q):u = q.popleft()seen[u] = Falsefor v, w in g[u]:t = dirs[u] + wif t < dirs[v]:dirs[v] = tcnt[v] = cnt[u] + 1if cnt[v] >= n:return Trueif not seen[v]:q.append(v)seen[v] = Truereturn False# 建图模板
n, m = map(int, input().split())
g = defaultdict(list)
for _ in range(m):u, v, w = map(int, input().split())g[u].append((v, w))print("Yes" if spfa() else "No")

【模板】Floya

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def floyd():for k in range(1, n + 1):for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])return n, m, k = map(int, input().split())#输入
dp = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]#开dp数组
#   d[i][j] 结点i到结点j的最短距离
for i in range(1, n + 1):   # 结点i到自己为0dp[i][i] = 0for _ in range(m):  # m 条有向边 u, v, w = map(int, input().split())dp[u][v] = min(dp[u][v], w) # 连边中u可能等于v此时选择最小的# 解决重边和自环 都选最小的floyd()for _ in range(k):u, v = map(int, input().split())print('impossible' if dp[u][v]==float('inf') else dp[u][v])

【模板】Kruskal最小生成树

题目描述：

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图=(V,E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V\，m =|E。

由V中的全部n个顶点和E中n―1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图的最小生成树。

输入格式：

第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u, v, ww，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式：

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible 。

数据范围：

输入样例：

输出样例：

————————————————

from collections import defaultdict, dequedef find(x):if not p[x] == x:p[x] = find(p[x])return p[x]n, m = map(int, input().split())
p = [_ for _ in range(n + 1)]
g = []
for _ in range(m):g.append(tuple(map(int, input().split())))
g.sort(key=lambda x:x[2])cnt = 0
res = 0
for u, v, w in g:eu = find(u)ev = find(v)if eu == ev: continuep[ev] = eures += wcnt += 1print('impossible') if not cnt == n - 1 else print(res)

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【模板】Bellman-Ford多源最短路

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输入格式

输出格式

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【模板】Spfa求最短路

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输入格式：

输出格式：

数据范围：

输入样例：

输出样例：

【模板】Spfa判断负环

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输入格式：

输出格式：

数据范围：

输入样例：

输出样例：

【模板】Floya

【模板】Kruskal最小生成树

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输入格式：

输出格式：

数据范围：

输入样例：

输出样例：

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