一、算法

1.1 基本概念

算法是解题方案，不等于程序，不等于计算方法。

1.1.1 算法基本特征

1. 可行性
2. 确定性
3. 有穷性
4. 拥有足够情报

1.1.2 算法基本要素

1.1.3 算法设计的基本方法

1、列举法 不实用
问题：母鸡3钱、公鸡2钱、鸡仔0.5钱。百钱百鸡，问各多少只？
列举法思路：
{ x + y + z = 100 3 x + 2 y + 0.5 z = 100 \begin{cases} x+y+z =100 \\ 3x+2y+0.5z = 100 \end{cases} {x+y+z=1003x+2y+0.5z=100​
推导：
x , y , z ∈ [ 0 , 100 ] ， { x , y , z 都是正整数 } x,y,z \in [0,100]，\{\ x,y,z都是正整数 \}\ x,y,z∈[0,100]，{ x,y,z都是正整数} 
列举出所有情况，代码如下所示：

#include <stdio.h>
#define N 100
int x,y,z;void main(void){for(x=0;x<N;x++){for(y=0;y<N;y++){for(z=0;z<N;z++){if((x+y+z == 100) && (3x+2y+0.5z == 100)){printf("母鸡有%d只,公鸡有%d只，鸡仔有%d只",x,y,z);}}}}
}

2、归纳法
3、递推法
4、递归
问题：给出一个正整数 n ，打印出1~n 的所有正整数。
代码如下：

#include <stdio.h>
void write(int n){if(n == 0){printf("0\n");}else{printf("%d\n",n);write(n-1);}
}
void main(){write(10);
}

5、减半递推技术
6、回溯法
其实就是几种方法齐上阵，因为很多问题不能在只用一种方法的情况下解决。

1.2 算法复杂度

影响因素：

1.2.1 问题的规模函数

算法的工作量 = f(n)
1、算法中基本操作重复执行的频率 T(n) ,是问题规模 n 的某个函数 f(n) ，
记作：
T ( n ) = O ( f ( n ) ) T(n)=O(f(n)) T(n)=O(f(n))
tips:随着问题规模 n 的增加，算法执行时间的增长率和 f(n) 相应增加。

常见算法的复杂度

示例：n*n矩阵相乘算法,三重循环 时间复杂度为 O(n³)

#include <stdio.h>
//已知a,b两个n阶方阵，求 a和b的乘积，结果保存在 c 中
void Mult_matrix(int c[][],int a[][],int b[][],int n)
{for(int i=0;i<n;i++){//循环**n**次for(int j=0;j<n;j++){//循环**n**次for(int k=0;k<n;k++){//循环**n**次c[i,j] += a[i,k]*b[k,j];}}}}

分析算法工作量的两种方法

1. 平均性态
2. 最坏情况复杂性

1.2.2 算法的空间复杂度

算法执行过程中所需要的最大存储空间

算法的存储量包括以下三个部分：

• 算法程序所占的空间
• 输入的初始数据所占的存储空间
• 算法执行过程中所要的额外空间

空间复杂度定义：
S ( n ) = O ( f ( n ) ) S(n) = O(f(n)) S(n)=O(f(n))
原地工作（in place）的算法：记作： O ( 1 ) O(1) O(1)
压缩存储技术

二、数据结构

2.1 数据结构的概念

相互有关联的数据元素的集合；数据元素之间的关系可以用前后件关系来描述。
一个数据结构应该包含以下两方面信息：

1. 表示数据元素的信息
2. 表示个数据元素之间的前后件关系

2.1.1 什么是数据结构

2.1.2 数据的逻辑结构

• 对数据元素之间的逻辑关系的描述
• 只抽象地反映数据元素之间地逻辑关系，和计算机地存储无关
• 两个要素：1、数据元素的集合，通常记为 D 2、前后件关系，记为 R

一个数据结构B可以表示为: B = ( D , R ) B=(D,R) B=(D,R)

2.1.3 数据的存储结构

概念：数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式

常用的存储结构：

• 顺序
• 链式
• 索引

2.2 数据结构的图形表示

1. 数据结点：用方框表示；根节点和终端结点比较特殊
2. 前后件关系：用有向线段表示

基本运算：

• 插入
• 删除
• 查找、分类、合并、分解、复制、修改…

2.3 线性结构和非线性结构

**空的数据结构：**一个数据元素都没有

2.3.1 线性结构

满足以下两个条件：

• 有且只有一个根结点
• 每个节点最多一个前件，最多一个后件
  常见的线性结构：
• 线性表
• 栈和队列
• 线性链表

2.3.2 非线性结构

常见的非线性结构：

• 树
• 二叉树
• 图

三、线性表及其顺序存储结构

3.1 基本概念

由n个相同类型的数据元素构成的有限序列

例如：

• 英文大写字母表 A~Z;
• 扑克牌中同花色的13张牌 2,3,4,…,Q,K,A;

结构特征：

• 数据元素在表中的位置由序号（下标）决定。数据元素之间的相对位置是线性的。
• 对于一个非空线性表，有且只有一个根节点，无前件；有且只有一个终端节点，无后件；其余的节点有且只有一个前件和后件。

线性表的存储结构：

• 顺序存储
• 链式存储

3.2 线性表顺序存储结构

两个基本特点：

• 存储空间连续
• 所有数据元素在存储空间中按照逻辑顺序依次存放

3.3 插入运算

向位置 i 插入一个元素，需要将位置 i+1 ~ n 的所有元素后移一位。

• 元素从大的位置开始后移
• 移动开目标位置
• 插入新元素

分析：
假设线性表中含有 n 个数据元素，在进行插入操作时，假定在 n+1 个位置插入元素的可能性均等，那么平均移动元素的个数为： E i s = 1 n + 1 ∑ i = 1 n + 1 p i ( n − i + 1 ) = n 2 E_{is}=\frac {1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1} {p_i(n-i+1)}=\frac{n}{2} Eis​=n+11​i=1∑n+1​pi​(n−i+1)=2n​

3.4 删除运算

分析：
假设线性表中含有 n 个数据元素，在进行删除操作时，假定在每个位置删除元素的可能性均等，那么平均移动元素的个数为： E d l = 1 n ∑ i = 1 n p i ( n − 1 ) = n − 1 2 E_{dl}=\frac {1}{n}\sum_{i=1}^{n} {p_i(n-1)}=\frac{n-1}{2} Edl​=n1​i=1∑n​pi​(n−1)=2n−1​
分析结论：
顺序存储结构的线性表，在做插入或者删除操作时，平均需要移动一半数据元素，当线性表的数据元素量较大，并且经常要对其做插入和删除操作时，这一点值得考虑。

四、栈和队列

栈和队列是特殊的线性表

4.1 栈基本运算

定义：栈（stack）:只允许在一端（栈顶）进行插入和删除操作的特殊线
性表。

• 栈顶（top）
• 栈底（bottom）：不许进行插入和删除
• 先进后出（FILO）或者后进先出（LIFO）的线性表

运算：

• 入栈 （需要事先检查是否栈满）
• 出栈（退栈）
• 读栈顶元素

4.2 队列基本运算

定义： 限定只能在表的一端插入，在另一端进行删除的线性表
例子：排队做核酸

• 队头（front）允许删除
• 队尾（rear） 允许插入

基本运算：

• 退队（从队头退） 指针front 后移一位
• 入队 （从队尾入队）指针 rear 后移一位，插入数据
• 先进先出、后进后出

循环队列运算： 队头咬队尾

• 入队：队尾指针 加1，当 rear = m+1 时，置rear =1
• 出队：对头指针 加1，当 front = m+1时，置 front = 1

五、线性链表

5.1 基本概念

5.2 基本运算

5.3 循环链表及其基本运算

六、树和二叉树

6.1 树的基本概念

1. 有且只有一个根节点（root）
2. 其余节点可分为 m 个互不相交的子集 T1、T2…Tm,其中每个子集又是一颗树，称为子树。
3. 每个节点只能由一个父节点
4. 每个节点可以有多个子节点。没有子节点的节点时叶子节点
5. 节点的度和树的度：节点的后件个数就是这个节点的度。一颗树中各节点度数最大值叫这棵树的度。
6. 层和树的深度：树结构是一种层次结构，根节点为第一层，根的子节点为第二层。一棵树中节点的最大层数叫做树的深度。

6.2 二叉树及其基本性质

• 性质1：在二叉树的第 k 层上，最多有 2 k − 1 ( k > = 1 ) 2^{k-1} (k>=1) 2k−1(k>=1)
  个节点
• 性质2：深度为 m 的二叉树，最多有 2 m − 1 2^m-1 2m−1个节点
• 性质3：度数为0的节点（就是叶子）总是比度数为2的节点多一个。即： n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0​=n2​+1
• 性质4：具有n个节点的二叉树深度至少为 [ l o g 2 n ] + 1 [log_2n]+1 [log2​n]+1,[]表示取整（不进行四舍五入）
• 性质5：具有n个节点的完全二叉树深度为 [ l o g 2 n ] + 1 [log_2n]+1 [log2​n]+1

满二叉树和完全二叉树

• 满二叉树：除了叶子，所有节点都有两个子节点。共 2 n − 1 2^n - 1 2n−1个节点，n为层数。

• 完全二叉树：除了最后一层，每一层的节点数都达到最大值；在最后一层上，只缺少右边的若干个节点(只有最后一层可以缺少节点)

6.3 二叉树的存储结构

普通二叉树

• 链式存储结构
• 存储节点由两部分组成：数据域（data）和两个指针域(Lnext、Rnext)

满二叉树和完全二叉树

• 顺序存储结构（连续存储）

6.4 二叉树的 遍历（考试重点）

不重复地访问二叉树中的所有节点

• 前序遍历（DLR）（根左右）
• 中序遍历 （LDR）
• 后序遍历 （LRD）（左右根）

七、查找技术

7.1 顺序查找

从表中第一个元素开始，逐个比较，直到两者相符。否则就是查找不成功。
平均和一般元素比较，最坏的情况比较n次。

以下情况必须顺序查找

• 如果线性表是无序表（表中元素无序），不管它是顺序存储还是链式存储，都只能顺序查找
• 即使是有序线性表，如果采用链式存储，只能顺序查找

7.2 二分查找法

先确定范围，再缩小范围，直到找到或者找不到。
前提：

• 有序表
• 顺序存储结构

特点：

• 效率较高
• 最坏的情况，需要比较次数为： l o g 2 n log_2n log2​n

八、排序技术

8.1 交换类排序法

基本思想： 两两比较排序记录的关键字，发现两个记录的次序相反时即进行交换，直到没有反序为止
方法：

• 冒泡排序
• 快速排序（综合性能最好）

冒泡排序性能分析
假设线性表长度为n，最坏情况下，需要比较次数： n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2
快速排序
基本思想：任取一个元素为基准，通过一趟排序，分为左右两个子序列。然后分别对两个子序列继续进行排序，直至整个序列有序。

• 快速排序的平均时间复杂度为： O ( n ∗ l o g 2 n ) O(n*log_2 n) O(n∗log2​n)

8.2 插入类排序法

基本思想： 每次将一个待排序的记录，按照其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列的适当位置，直到全部记录插入完成为止。
方法：

• 简单插入排序
• 希尔排序

8.2.1 简单插入排序

基本思想： 把n个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表。开始的时候有序表只有一个元素，排序过程中每次从无序表中取第一个元素，把他的排序码依次和有序表的排序码进行比较，将它插入到有序表的适当位置，使之成为新的有序表。
最坏情况下，需要进行比较次数为： n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2

8.2.2 希尔排序

基本思想： 本质上也是插入排序。先将整个序列分为若干个子序列（由相隔某个增量 h的元素组成的），分别进行直接插入排序，等整个序列元素基本有序，再对全体元素进行一次直接插入排序。直接插入排序再元素基本有序的情况下，效率非常高

增量一般取 h i = n / 2 k ( k = 1 , 2 , . . . , [ l o g 2 n ] ) h_i = n/2^k (k=1,2,...,[log_2n]) hi​=n/2k(k=1,2,...,[log2​n])
最坏情况下： 希尔排序的时间复杂度为： O ( n 1.5 ) O(n^{1.5}) O(n1.5)

8.3 选择类排序法

基本思想： 每一趟选出最小值，顺序放在已经排好序的子序列最后，直到排序完成
方法：

• 简单选择排序
  扫描整个线性表，选择最小值，放到表的最前面；然后对剩下的子表继续同样的操作，直到子表变成空表。最坏情况下：比较次数为： n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2
• 堆排序
  分为大根堆和小根堆
  最坏情况，需要比较次数为： O ( n ∗ l o g 2 n ) O(n*log_2n) O(n∗log2​n)

8.3 各种排序法的比较

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