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1、牛顿环干涉牛顿环干涉实验的实验的 Matlab 模拟模拟 在光学上，牛顿环是一个等厚干涉现象。将一块平凸透镜凸面朝下放在一块平面透镜上，将单色 光直射向凸镜的平面，入射光和通过平透镜的反射光发生干涉，产生一个个明暗相间的圆环条纹，这 些圆环就是牛顿环干涉条纹。下面我们将通过 matlab 实现牛顿环干涉的模拟，画出其干涉条纹。 1.牛顿环干涉的原理牛顿环干涉的原理 在编制程序之前， 我们需要对决定干涉条纹特征的光程差、 相位差与干涉条纹半径 r， 光波波长 和平凸透镜的曲率半径 R 之间的关系。装置如图 1 所示： 图 1 牛顿环装置图 将一块曲率半径为 R 的平凸透镜凸面朝下放在一块平面透镜。

2、上，以平行单色光垂直照射，则经 空气层上下表面反射的两束光线有一光程差，在平凸透镜凸面相遇后，将发生干涉。 当透镜凸面的曲率半径 R 很大时， 相遇时的两反射光线的几何程差为该处空气间隙厚度 d 的两倍， 即 2d。又因这两条相干光线中一条光线来自光密媒质面上的反射，另一条光线来自光疏媒质上的反 射，它们之间有一附加的半波损失，所以在 P 点处得两相干光的总光程差为： 2/2d (1) 产生暗纹的条件是：2/12)(k , 2 , 1k (2) 产生亮纹的条件是：2/2)( k , 2 , 1k (3) 对于间隙厚度 d 与条纹半径 r 的关系，由几何关系得： 222 )(dRRr (4) R。

3、rd2/ 2 (5) 由此可得，牛顿环的明、暗纹半径分别为： 2/2Rkrk)( 暗 (6) 2/12Rkrk)( 亮 (7) 因此通过以上两式，当已知时，只要测出第 m 级亮环、暗环的半径，就可计算出透镜的曲率半 径 R；相反，当 R 已知时，即可算出。我们可以通过测量距环中心教远的两个暗环的半径和的平方 差来计算曲率半径 R。结合公式(1)、(5)得出光程差最终表达式： 2/2/2 2 Rrd (8) 观察牛顿环时将会发现，牛顿环中心不是一点，而是一个不甚清晰的暗或亮的圆斑。其原因是透 镜和平玻璃板接触时， 由于接触压力引起形变， 使接触处为一圆面； 又镜面上可能有微小灰尘等存在， 从而引。

4、起附加的程差。我们可以通过测量距中心较远的、比较清晰的两个暗环纹的半径的平方差来 消除附加程差带来的误差。 两相干条纹的相位差为/2带入公式 (8) Rr /2 2 (9) 两相干光的干涉光强为: )co s (2 2121 IIIII (10) 这里设两反射光的光强近似相等，均设为 0 I因此最后的干涉光强为： )2/(co s4 2 0 II (11) 最终光强与条纹半径的关系可以写为： 1 / 2 ) )R/p i ( r(co s4 22 0 II (12) 2.编写程序编写程序 为了得到明暗相间的牛顿环干涉条纹，我们需要用 matlab 模拟出光强变化过程，也就是说，我 们编程的重点。

5、在于实现对公式(12)的模拟。设光强的系数 0 4I=1，波长=600nm，凸透镜曲率半径 R=2m。建立一个大小为 8mm*8mm 具有 400*400 个像素点的视场，视场各点(x,y)到视场中心的距 离可以表示为： r= 22 yx (13) 根据公式(12)，利用 matlab 编程： R=2; %牛顿环曲率半径 Lamda=632.8e-9; %波长 x,y=meshgrid(linspace(-0.004,0.004,400); %视场范围 r2=(x.2+y.2); %各点到中心的距离 delta=pi*r2/(R*lamda)+pi/2; %相位差 I=cos(delta).2。

6、; %干涉光强 Imshow(I); %画图 程序运行后，得到图形，曲率半径 R=2m，波长=600nm 情况下的干涉条纹，如图 2 所示，因 此牛顿环干涉条纹特点为，中央零级为暗纹，条纹间距不相等，越向外条纹越密集。 图图 2 R=2m 3.改变牛顿环的参数改变牛顿环的参数 为了更好的理解影响干涉条纹的因素，我们在 matlab 模拟中对不同的参数进行变化，通过图像对 比，分析各个参数的影响。 3.1 曲率半径曲率半径 R 对牛顿环的影响对牛顿环的影响 当曲率半径改变时，R=3m 时，牛顿环干涉图像如图 3 所示，其他参数不变。 图图 3 R=3m 曲率半径 R=4m 时，如图 4 所示： 。

7、图图 4 R=4m 通过图 2，图 3，图 4 比较看出，随着曲率半径 R 的增加干涉条纹的条数变少，也就是级次变 小。 3.2 波长波长对牛顿环的影响对牛顿环的影响 改变波长情况下，保持 R=2m ，=500nm，如图 5 所示： 图图 5 R=2m ，=500nm 保持 R=2m ，=400nm，如图 6 所示： 图图 6 R=2m ，=400nm 通过图 2、图 5、图 6 的比较发现，波长对牛顿环干涉的影响，随着波长的减小，牛顿环向内收 缩，条纹也变的越来越窄。 4.结论结论 利用 matlab 强大的计算及绘图功能, 在不需要任何光学仪器的情况下, 模拟了牛顿环随透镜半 径、入射波长变化的干涉圆环移动过程, 模拟结果与实验观察结果及干涉理论相符, 直观地展现了物 理量间的变化规律, 更好的帮助我们更好的理解牛顿环干涉现象。。