Cyclostationary Signal 循环平稳信号概念辨析

振动信号一般可以分为确定性信号和不确定性信号。

其中确定性信号可以分为周期信号和非周期信号。

随机信号可以分为平稳信号（stationary）和非平稳信号（non-stationary ），平稳信号的统计特性不随时间变化而变化，其又可以分为广义平稳随机信号和狭义平稳随机信号，其中狭义平稳随机信号指的是随机信号的概率分布不随着时间位移发生改变，而广义随机信号一般指的则是信号的均值和方差不随时间发生改变。

对信号改进的细分，可以得到循环平稳信号（Cyclostationary Signal）这种概念，这种信号不一定是周期信号，但是一般由周期性运动的机构产生。很明显，周期信号和平稳随机信号是循环平稳信号的一个特例，而对于非平稳随机信号，如果信号经过某种非线性变化之后，产生了周期性，则可以称这种信号为循环平稳信号。从上面的定义中可以看出，循环平稳信号包含了大部分旋转机构和往复机构产生的信号。

严格的说，n阶循环平稳信号指的是信号n阶统计特性具有周期性，也可以说，信号经过任意n阶的非线性处理之后特征值在傅里叶变换的结果上产生了一个峰值。（这句话感觉说的比较拗口，其实说的就是周期性，因为如果周期性和信号傅里叶变换结果两者显然等价）。

上面说的感觉还是比较抽象，下面举一个具体的1阶循环平稳信号的例子，例如一个受到随机噪声n干扰的周期信号p，该信号x=n+p，由于该信号含有随机噪声，显然不具有周期性，但是信号的均值：

E(x)=E(n+p)=E(n)+E(p)=E(p)=p

显然具有周期性，且周期信号p的傅里叶变换结果也肯定能够产生一个代表周期分量的尖峰。

同样，二阶平稳周期信号的定义是，信号的自相关函数（auto-correlation function）Rxx(t,τ)=E(x(t-τ/2)x(t+τ/2))是周期函数。即Rxx(t+T,τ)=Rxx(t,τ)，这里需要主要和狭义平稳随机信号的自相关函数做一下区别，对于狭义平稳随机信号而言，其自相关函数Rxx(t,τ)=Rxx(τ)只与τ有关，而与所选择的时间无关，

下面举一个论文中的例子来说明一下循环周期信号的应用，如图a所示，是一个幅值被周期信号调制的白噪声信号，该信号显然不是周期信号，无法直接进行傅里叶分析，但从时域中有明显包含着周期性，通过计算信号的2阶自相关函数，显示出了信号的周期性。图中只画出tao等于零时的图像是因为，信号作为白噪声，当时间延迟不为0时，其自相关函数为0.

第一次写博客，有诸多疏漏，请大家多多指教。

参考文献：

Randall R B, Antoni J. Rolling element bearing diagnostics—A tutorial ☆[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2011, 25(2):485-520.

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